a是实常数，函数f（x）对于任何的非零实数x都有f(1x)=af(x)-x-1，且f(1)=1，则不等式f（x）-x≥0的解集为（　　）A．(-∞，-15]∪(

题型：单选题难度：一般来源：吉安二模

a是实常数，函数f（x）对于任何的非零实数x都有f(

1

x

)=af(x)-x-1，且f(1)=1，则不等式f（x）-x≥0的解集为（　　）

A．(-∞，- 1 5 ]∪(0，1]	B．(-∞，- 1 5 ]∪[1，+∞)
C．[- 1 5 ，0∪(0，1]	D．[- 1 5 ，0)∪[1，+∞)

答案

因为f（1）=1，所以f（1）=af（1）-2，即a-2=1，解得a=3，
所以f（

1

x

）=3f（x）-x-1①，
设

1

x

=t，得到f（t）=3f（

1

t

）-

1

t

-1，即f（x）=3f（

1

x

）-

1

x

-1②，
将①代入②得：f（x）=3[3f（x）-x-1]-

1

x

-1，
化简得：f（x）=

3x

8

+

1

8x

+

1

2

，
代入不等式得：

3x

8

+

1

8x

+

1

2

-x≥0，
当x＞0时，去分母得：5x²-4x-1≤0，即（5x+1）（x-1）≤0，
解得：-

1

5

≤x≤1，所以原不等式的解集为（0，1]；
当x＜0时，去分母得：5x²-4x-1≥0，即（5x+1）（x-1）≥0，
解得：x≥1或x≤-

1

5

，所以原不等式的解集为（-∞，-

1

5

]，
综上，原不等式的解集为（-∞，-

1

5

]∪（0，1]．
故选A