已知二次函数f（x）的二次项系数为a，满足不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3），且方程f（x）+6a=0有两个相等实根，求f（x）的解析式．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，满足不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3），且方程f（x）+6a=0有两个相等实根，求f（x）的解析式．

答案

∵f（x）与f（x）+2x的二次项系数相等，
∴f（x）+2x的二次项系数为a．
又∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3），
∴设f（x）+2x=a（x-1）（x-3）（a＜0），
∴f（x）=a（x²-4x+3）-2x=ax²-（4a+2）x+3a．
∵方程f（x）+6a=0有两个相等实根
∴ax²-（4a+2）x+9a=0有两个相等实根．
∴[-（4a+2）]²-36a²=0，解得a=1（舍去），a=-

1

5

∴f(x)=-

1

5

x2-

6

5

x-

3

5