试题分析:(Ⅰ)因为,所以切线的斜率
2分 又,故所求切线方程为,即 4分 (Ⅱ)因为,又,所以当时,;当时, . 即在上递增,在上递减 5分 又,所以在上递增,在上递减 6分 欲与在区间上均为增函数,则,解得 8分 (Ⅲ) 原方程等价于,令,则原方程即为. 9分 因为当时原方程有唯一解,所以函数与的图象在轴右侧有唯一的交点 10分 又,且, 所以当时,,函数单调递增;当时, ,函数单调递减. 故在处取得最小值. 12分 从而当时原方程有唯一解的充要条件是. 13分 点评:第一问利用导数的几何意义可求出切线斜率,进而得到直线方程,由导数大于零可求得增区间,导数小于零可得减区间,第三问将方程有一个根转化为两函数图像只有唯一交点,结合图像需求函数最值 |