试题分析:(1)因为 所以. 法一:若在(0,+∞)单调递增,则在(0,+∞)上恒成立, , 由于开口向上,所以上式不恒成立,矛盾。 若在(0,+∞)单调递减,则在(0,+∞)上恒成立,
由于开口向上,对称轴为, 故只须解得。 综上,的取值范围是[,+∞). 法二:令.当时,,在 (0,+∞)单调递减. 当时,,方程有两个不相等的正根, 不妨设, 则当时,, 当时,,这时不是单调函数. 综上,的取值范围是[,+∞). (2)由(1)知,当且仅当∈(0,)时,有极小值点和极大值点, 且=,=.
令, 则当时,=-=<0,在(0,)单调递减, 所以即. 点评:导数是研究函数的单调性、极值、最值的有力工具,研究函数的性质时要注意函数的定义域. |