(本小题满分12分) 已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),其中(a>0且a≠1),设h(x)=f(x)-g(x).(1)求
题型:解答题难度:一般来源:不详
(本小题满分12分) 已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),其中(a>0且a≠1),设h(x)=f(x)-g(x). (1)求函数h(x)的定义域; (2)判断h(x)的奇偶性,并说明理由; (3)若f(3)=2,求使h(x)>0成立的x的集合. |
答案
(1) (-1,1).(2) h(x)是奇函数.(3) {x|0<x<1}. |
解析
(1)求f(x)和g(x)的定义域的交集即为h(x)的定义域. (2)因为h(-x)=-h(x),所以h(x)为奇函数. (3)由f(3)=2,得a=2. h(x)>0即log2(1+x)-log2(1-x)>0,即log2(1+x)>log2(1-x),利用对数函数的单调性可转化为1+x>1-x>0,解此不等式即可. (1)由对数的意义,分别得1+x>0,1-x>0,即x>-1,x<1. ∴函数f(x)的定义域为(-1,+∞),函数g(x)的定义域为(-∞,1), ∴函数h(x)的定义域为(-1,1). (2)∵对任意的x∈(-1,1),-x∈(-1,1), h(-x)=f(-x)-g(-x) =loga(1-x)-loga(1+x) =g(x)-f(x)=-h(x), ∴h(x)是奇函数. (3)由f(3)=2,得a=2. 此时h(x)=log2(1+x)-log2(1-x), 由h(x)>0即log2(1+x)-log2(1-x)>0, ∴log2(1+x)>log2(1-x). 由1+x>1-x>0,解得0<x<1. 故使h(x)>0成立的x的集合是{x|0<x<1}. |
举一反三
若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4)上是减函数,则实数a的取值 范围 ( ) |
已知函数f(x)=3x+2,x∈[-1,2],证明该函数的单调性并求出其最大值和最小值. |
函数是( )A.最小正周期为的奇函数 | B.最小正周期为的奇函数 | C.最小正周期为的偶函数 | D.最小正周期为的偶函数 |
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函数在区间[-1,3]内的最小值是_________. |
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