(1) f (-1) = -f (1) = 0,又f (x) 在 (0,+¥) 上是增函数, ∴ f (x) 在 (-¥,0) 上也是增函数, ∴ 由 f (x) < 0得x < -1或0 < x < 1. (2) N =" {m" | f [g(q)] < 0} =" {m" | g(q) < -1或0 < g(q) < 1}, M∩N =" {m" | g(q) < -1}……………3分 由g(q) < -1得 sin 2q+ m cos q-2m < -1 Þ cos 2q-m cos q + 2m-2 > 0 恒成立 Þ(cos 2q-m cos q + 2m-2)min > 0 然后换元构造函数设t = cosq,h(t) = cos 2q-m cos q + 2m-2 = t 2-mt + 2m-2 ,求其最值即可 (1)依题意,f (-1) = -f (1) = 0,又f (x) 在 (0,+¥) 上是增函数, ∴ f (x) 在 (-¥,0) 上也是增函数, ∴ 由 f (x) < 0得x < -1或0 < x < 1…………… 2分 (2)N =" {m" | f [g(q)] < 0} =" {m" | g(q) < -1或0 < g(q) < 1}, M∩N =" {m" | g(q) < -1}……………3分 由g(q) < -1得 sin 2q+ m cos q-2m < -1 Þ cos 2q-m cos q + 2m-2 > 0 恒成立 Þ(cos 2q-m cos q + 2m-2)min > 0…………………4分 设t = cosq,h(t) = cos 2q-m cos q + 2m-2 = t 2-mt + 2m-2 = (t-) 2-+ 2m-2, ∵ cosq∈[-1,1] Þt∈[-1,1],h(t) 的对称轴为 t = …5分 1°当 > 1,即 m > 2 时,h(t) 在 [-1,1] 为减函数 ∴ h(t)min =" h(1)" = m-1 > 0 Þm > 1 Þm > 2…………………7分 2°当 -1≤≤1,即 -2≤m≤2 时, ∴ h(t)min = h() = -+ 2m-2 > 0 Þ4-2< m < 4 + 2 Þ4-2< m≤2…………9分 3°当 < -1,即 m < -2 时,h(t) 在 [-1,1] 为增函数 ∴ h(t)min = h(-1) = 3m-1 > 0 Þ m > 无解………………11分 综上,m > 4-2 Þ M∩N =" {m" | m > 4-2}……………12分 另解:. 解:依题意,f (-1) = -f (1) = 0,又f (x) 在 (0,+¥) 上是增函数, ∴ f (x) 在 (-¥,0) 上也是增函数, ∴ 由 f (x) < 0得x < -1或0 < x < 1……………… 2分 ∴ N =" {m" | f [g(q)] < 0} =" {m" | g(q) < -1或0 < g(q) < 1}, M∩N =" {m" | g(q) < -1}…………………3分 由g(q) < -1得 sin 2q+ m cos q-2m < -1 Þ cos 2q-m cos q + 2m-2 > 0 恒成立 Þ(cos 2q-m cos q + 2m-2)min > 0 设t = cosq,h(t) = cos 2q-m cos q + 2m-2 = t 2-mt + 2m-2 = (t-) 2-+ 2m-2 ∵ cosq∈[-1,1] Þt∈[-1,1],h(t) 的对称轴为 t = ,△= m 2-8m + 8 …4分 1°当 △< 0,即 4-2< m < 4 + 2时,h(t) > 0 恒成立.…………………6分 2°当 △≥0,即 m≤4-2或 m≥4 + 2时,………7分 由 h(t) > 0 在 [-1,1] 上恒成立 ∴ Þ m≥2 Þ m≥4 + 2………………11分 综上,m > 4-2 Þ M∩N =" {m" | m > 4-2} |