f(x)=ax+bx2+1是定义在区间(-1,1)上的奇函数,且f(12)=25.(1)求f(x)解析式;(2)证明:f(x)为增函数;(3)求不等式f(x-1
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f(x)=ax+bx2+1是定义在区间(-1,1)上的奇函数,且f(12)=25.(1)求f(x)解析式;(2)证明:f(x)为增函数;(3)求不等式f(x-1
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
f(x)=
ax+b
x
2
+1
是定义在区间(-1,1)上的奇函数,且
f(
1
2
)=
2
5
.
(1)求f(x)解析式;
(2)证明:f(x)为增函数;
(3)求不等式f(x-1)+f(x)<0的解.
答案
(1)∵f(x)为奇函数
∴f(0)=0,即b=0,
又
f(
1
2
)=
1
2
a
1
4
+1
=
2
5
,解得a=1,
∴
f(x)=
x
x
2
+1
.…(4分)
(2)证明:设-1<x
1
<x
2
<1
即△x=x
2
-x
1
>0,
△y=f(
x
2
)-f(
x
1
)=
x
2
x
2
2
+1
-
x
1
x
1
2
+1
=
(
x
2
-
x
1
)(1-
x
1
x
2
)
(
x
2
2
+1)(
x
1
2
+1)
,
∵-1<x
1
<1,-1<x
2
<1,
∴-1<x
1
x
2
<1,
∴1-x
1
x
2
>0,x
2
-x
1
>0,
∴
(
x
2
2
+1)(
x
1
2
+1)>0
,
∴△y>0,
∴f(x)在(-1,1)上为增函数.
(3)∵f(x)为奇函数
又f(x-1)+f(x)<0
∴f(x-1)<-f(x)=f(-x)…(9分)
又f(x)在(-1,1)上为增函数
∴
-1<x-1<1
-1<x<1
x-1<-x
,
∴
0<x<
1
2
,
∴不等式f(x-1)+f(x)<0的解集为
{x|0<x<
1
2
}
.…(14分)
举一反三
已知定义在R上的奇函数f(x),对任意实数x,满足f(x+2)=-f(x),且当0<x≤1时,f(x)=3
x
+1.
(Ⅰ)求f(0)、f(2)和f(-2)的值;
(Ⅱ)证明函数f(x)是以4为周期的周期函数;
(Ⅲ)当-1≤x≤3时,求f(x)的解析式(结果写成分段函数形式).
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
下列函数中既是奇函数又是增函数的是( )
A.y=3x
B.
y=
1
x
C.y=2x
2
D.
y=-
1
3
x
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知函数f(x)=
(lo
g
1
4
x
)
2
-lo
g
1
4
x+5
,x∈[2,4],则当x=______,f(x)有最大值.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
函数y=(
1
2
)
|x+2|
的增区间为______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
设[x]表示不超x的最大整数(如
[2]=2,[
5
4
]=1
),对于给定的n∈N
*
,定义
C
xn
=
n(n-1)(n-2)…(n-[x]+1)
x(x-1)…(x-[x]+1)
,x∈[1,+∞)
,则 (i)
C
3
2
8
=______;(ii)当x∈[2,3)时,函数
C
x8
的值域是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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