若f(12+x)+f(12-x)=2对任意的正实数x成立，则f(12010)+f(22010)+f(32010)+…+f(20092010)=______．

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若f(12+x)+f(12-x)=2对任意的正实数x成立，则f(12010)+f(22010)+f(32010)+…+f(20092010)=______．

题型：填空题难度：一般来源：浦东新区一模
若f(
1
2
+x)+f(
1
2
-x)=2对任意的正实数x成立，则f(
1
2010
)+f(
2
2010
)+f(
3
2010
)+…+f(
2009
2010
)=______．
答案
∵f(
1
2
+x)+f(
1
2
-x)=2对任意的正实数x成立
∴f(
1
2
+
1004
2010
)+f(
1
2
-
1004
2010
) =2，
f(
1
2
+
1003
2010
)+f(
1
2
-
1003
2010
) =2，
f(
1
2
+
1002
2010
)+f(
1
2
-
1002
2010
) =2
…
f(
1
2
)+f(
1
2
) =2
即f(
1
2010
)+f(
2009
2010
) =2，
f(
2
2010
)+f(
2008
2010
) =2，
f(
3
2010
)+f(
2007
2010
) =2，
…
f(
1005
2010
)=1
∴f(
1
2010
)+f(
2
2010
)+f(
3
2010
)++…+f(
2009
2010
)=2009
故答案为2009
举一反三
已知f(x)=
px2+2
3x+q
是奇函数，且f(2)=
5
3
，
（1）求实数p和q的值．
（2）求f（x）的单调区间．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
如果函数f（x）在区间D上有定义，且对任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
，则称函数f（x）在区间D上的“凹函数”．
（Ⅰ）已知f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R），判断f（x）是否是“凹函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）已知f（x）=ln（1+ex）-x是定义域在R上的减函数，且A、B、C是其图象上三个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对一切x、y＞0，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x＞0时，f（x）＜0．
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）f(2)=-
1
2
时，解不等式f（ax+4）＞-1．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
已知函数f（x）的定义域是R，且x≠kπ+
π
2
(k∈Z)，函数f（x）满足f（x）=f（π+x），
当x∈(-
π
2
，
π
2
)时，f（x）=2x+sinx，设a=f（-1），b=f（-2），c=f（-3）则（　　）
A．c＜b＜aB．b＜c＜aC．a＜c＜bD．c＜a＜b
题型：单选题难度：一般| 查看答案
已知函数f（x）=logax，其反函数为f-1（x），若f-1（2）=9，则f（
1
2
）+f（6）的值为（　　）
A．2B．1C．
1
2
D．
1
3
题型：单选题难度：一般| 查看答案
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