已知函数y=f (x)在R上是偶函数,对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3),当x1,x2∈[0,3]且x1≠x2时,f (x1)-f (x2) x1
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已知函数y=f (x)在R上是偶函数,对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3),当x1,x2∈[0,3]且x1≠x2时,f (x1)-f (x2) x1
题型:单选题
难度:简单
来源:河南模拟
已知函数y=f (x)在R上是偶函数,对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3),当x
1
,x
2
∈[0,3]且x
1
≠x
2
时,
f (
x
1
)-f (
x
2
)
x
1
-
x
2
> 0
,给出如下命题:f(2a-x)=f(x)
①f(3)=0
②直线x=-6是y=f(x)图象的一条对称轴
③函数y=f(x)在[-9,-6]上为增函数
④函数y=f(x)在[-9,9]上有四个零点.
其中所有正确命题的序号为( )
A.①②
B.②④
C.①②③
D.①②④
答案
①令x=-3,则由f(x+6)=f(x)+f(3),函数y=f (x)在R上是偶函数,得f(3)=f(-3)+f(3)=2f(3),故f(3)=0,故①正确.
②由f(3)=0,可得:f(x+6)=f(x),故f(x)是周期等于6的周期函数.
由于f(x)为偶函数,y轴是对称轴,故直线x=-6也是函数y=f(x)的图象的一条对称轴,故②正确.
③因为当x
1
,x
2
∈[0,3],x
1
≠x
2
时,有
f (
x
1
)-f (
x
2
)
x
1
-
x
2
> 0
成立,故f(x)在[0,3]上为增函数,
又f(x)为偶函数,故在[-3,0]上为减函数,又周期为6.故在[-9,-6]上为减函数,故③错误.
④函数f(x)周期为6,故f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0,故y=f(x)在[-9,9]上有四个零点,故④正确.
故选 D.
举一反三
给出四个函数:
f(x)=x+
1
x
,g(x)=3
x
+3
-x
,u(x)=x
3
,v(x)=sinx,其中满足条件:对任意实数x及任意正数m,有f(-x)+f(x)=0及f(x+m)>f(x)的函数为( )
A.f(x)
B.g(x)
C.u(x)
D.v(x)
题型:单选题
难度:简单
|
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函数y=log
0.5
(2x
2
-3x+1)的单调递减区间是( )
A.[-∞,
3
4
]
B.[
3
4
,+∞
]
C.(
-∞,
1
2
)
D.(1,+∞)
题型:单选题
难度:简单
|
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若点(1,1)到直线xcosα+ysinα=2的距离为d,则d的最大值是______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知函数
f(x+2)=
lo
g
2
(-x),x<0
(
1
2
)
x
,x≥0
,则f(-2)+f(lo
g
2
12)
=( )
A.13
B.
7
3
C.
25
12
D.
13
12
题型:单选题
难度:简单
|
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已知
f(x)=
e
x
-
e
-x
e
a
-
e
-a
,若函数f(x)在R上是减函数,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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