设函数f(x)=x+logax,(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)解不等式log2(x2-x)<3+x-x2.
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=x+logax, (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性; (Ⅱ)解不等式log2(x2-x)<3+x-x2. |
答案
解.(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),f"(x)=1+, 当a>1时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当0<a<1时,由f′(x)>0,解得x>-,由f′(x)<0,解得0<x<-. 所以f(x)在(0,-)上单调递减,在(-,+∞)上单调递增; 综上,当a>1时,f(x)的增区间为(0,+∞);当0<a<时,f(x)的减区间是(0,-),增区间是(-,+∞). (2)原不等式可化为log2(x2-x)+x2-x<3. 由(1)知f(t)=t+log2t在(0,+∞)上是增函数,且f(2)=3, 所以log2(x2-x)+x2-x<3可化为f(x2-x)<f(2), 所以0<x2-x<2,解得1<x<2. 所以原不等式的解集为{x|1<x<2}. |
举一反三
函数y=log2x+(x∈[2,4])的最大值为______. |
已知函数y=f (x)在R上是偶函数,对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3),当x1,x2∈[0,3]且x1≠x2时,> 0,给出如下命题:f(2a-x)=f(x) ①f(3)=0 ②直线x=-6是y=f(x)图象的一条对称轴 ③函数y=f(x)在[-9,-6]上为增函数 ④函数y=f(x)在[-9,9]上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为( ) |
给出四个函数:f(x)=x+,g(x)=3x+3-x,u(x)=x3,v(x)=sinx,其中满足条件:对任意实数x及任意正数m,有f(-x)+f(x)=0及f(x+m)>f(x)的函数为( ) |
函数y=log0.5(2x2-3x+1)的单调递减区间是( )A.[-∞,] | B.[,+∞] | C.(-∞,) | D.(1,+∞) |
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若点(1,1)到直线xcosα+ysinα=2的距离为d,则d的最大值是______. |
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