由题意,函数f(x)的定义域为实数集 ∴f(x)在(-∞,+∞)上连续 ∵函数f(x)为奇函数,在[0,+∞)上是增函数, 故f(x)在(-∞,+∞)上为增函数 由f(0)=-f(-0),得f(0)=0 f(4m-2mcosθ)-f(2sin2θ+2)>f(0)=0 移向变形得f(4m-2mcosθ)>f(2sin2θ+2) ∴由f(x)(-∞,+∞)上连续且为增函数,得 4m-2mcosθ>2sin2θ+2 ∴2cos2θ-4-2mcosθ+4m>0 cos2θ-mcosθ+(2m-2)>0 根据题意,0≤θ≤时,0≤cosθ≤1 方法(1) 令t=cosθ∈[0,1] 则问题等价于t∈[0,1]时,t2-mt+(2m-2)>0恒成立,求m的取值范围 令f(t)=t2-mt+(2m-2),此函数对应的抛物线开口向上,对称轴t=, 分类讨论: ①当此抛物线对称轴t=在区间[0,1]内时,m∈[0,2], 函数最小值(2m-2)->0即可,此时m2-8m+8<0, ∴4-2<m≤2 ②当对称轴在(-∞,0)时,m<0, 只要f(0)>0即可,此时2m-2>0,推出m>1,与m<0矛盾,此情况不成立,舍去 ③当对称轴在(1,+∞)时,m>2, 只要f(1)>0即可,此时1-m+2m-2=m-1>0,推出m>1, ∴m>2 综上所述,m的取值范围是(4-2,+∞) 方法(2):参数分离法 由cos2θ-mcosθ+(2m-2)>0,得cos2θ-2+m(2-cosθ)>0,即m(2-cosθ)>2-cos2θ 因为0≤cosθ≤1,所以m>=. 因为==(cosθ-2)2+4(cosθ-2)+2 | cosθ-2 | =cosθ-2++4, 因为0≤cosθ≤1,所以cosθ-2<0, 所以原式=-[(2-cosθ)+]+4≤-2+4=4-2, 当且仅当2-cosθ=,即(2-cosθ)2=2,2-cosθ=,cosθ=2-时取等号. 所以的最大值为4-2,所以m>4-2. 所以m的取值范围是(4-2,+∞). |