定义在(-1,1)的函数f(x)满足:①对任意x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy);②当0<x<1时,f(x)>0.回答下列问题.(

定义在(-1,1)的函数f(x)满足:①对任意x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy);②当0<x<1时,f(x)>0.回答下列问题.(

题型:解答题难度:一般来源:不详
定义在(-1,1)的函数f(x)满足:①对任意x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)
;②当0<x<1时,f(x)>0.回答下列问题.
(1)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)判断函数f(x)在(-1,1)上的单调性,并说明理由;
(3)若f(
1
7
)=
1
3
,试求f(
2
3
)-f(
1
9
)-2f(
1
17
)
的值.
答案
(1)函数定义域为(-1,1).令x=y=0得f(0)=0,
令y=-x,则有f(x)+f(-x)=0,得f(-x)=-f(x),
所以函数f(x)在区间(-1,1)上是奇函数.(3分)
(2)设-1<x1<x2<1,
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(
x2-x1
1-x1x2
)

而x2-x1>0,|x1||x2|<1
∴1-x1x2>0
x2-x1
1-x1x2
>0

又因为1-x2>0,1+x1>0
∴(1-x2)(1+x1)=1-x1x2-x2+x1>0,即1-x1x2x2-x1
x2-x1
1-x1x2
<1

0<
x2-x1
1-x1x2
<1

所以f(
x2-x1
1-x1x2
)>0
.即当x1<x2时,f(x1)<f(x2),
∴f(x)在区间(-1,1)上是单调递增函数.(8分)
(3)由于f(
2
3
)-f(
1
7
)=f(
11
19
)
f(
2
3
)=f(
1
7
)+f(
11
19
)

f(
1
9
)+f(
1
7
)=f(
1
4
)
-f(
1
9
)=f(
1
7
)-f(
1
4
)

f(
1
17
)+f(
1
7
)=f(
1
5
)
-2f(
1
17
)=2f(
1
7
)-2f(
1
5
)

又∵f(
1
4
)+f(
1
5
)+f(
1
5
)=f(
3
7
)+f(
1
5
)=f(
11
19
)

f(
2
3
)-f(
1
9
)-2f(
1
17
)=f(
1
7
)+f(
1
19
)+f(
1
7
)-f(
1
4
)+2f(
1
7
)-2f(
1
5
)

f(
2
3
)-f(
1
9
)-2f(
1
17
)=4f(
1
7
)=
4
3
(14分)
举一反三
已知函数f(x)=
2x-1
2x+1

(1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;
(2)求证函数f(x)在x∈(-∞,+∞)上是增函数.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(三)=





2(三<如)
f(三-2)(三≥如)
,那么f(5)的值为(  )
A.32B.16C.8D.64
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知定义在区间(-1,1)上的函数f(x)=
ax+b
1+x2
为奇函数,且f(
1
2
)=
2
5

(1)求实数a,b的值;
(2)用定义证明:函数f(x)在区间(-1,1)上是增函数;
(3)解关于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=3(x-2)2+5,且|x1-2|>|x2-2|,则(  )
A.f(x1)>f(x2B.f(x1)=f(x2
C.f(x1)<f(x2D.不能确定大小
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数f(x)=x2+|x-a|,若f(
1
2
)和f(-
1
2
)
都不是函数f(x)的最小值,则a的取值范围是(  )
A.(-∞,
1
2
]
B.[-
1
2
1
2
]
C.(-
1
2
1
2
)
D.[
1
2
,+∞)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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