设函数f(x)=x+a2x(a>0),(1)求证:函数f(x)是奇函数; (2)试用函数的单调性的定义证明函数f(x)在区间(0,a]单调递减;(3)试判断(不
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设函数f(x)=x+a2x(a>0),(1)求证:函数f(x)是奇函数; (2)试用函数的单调性的定义证明函数f(x)在区间(0,a]单调递减;(3)试判断(不
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设函数
f(x)=x+
a
2
x
(a>0)
,
(1)求证:函数f(x)是奇函数;
(2)试用函数的单调性的定义证明函数f(x)在区间(0,a]单调递减;
(3)试判断(不必证明)函数f(x)在定义域上的单调性.
答案
(1)证明:因为f(x)的定义域为{x∈R|x≠0},且
f(-x)=-x-
a
2
x
=-f(x)
,
故f(x)是奇函数;
(2)证明:设0<x
1
<x
2
≤a,则
f(
x
1
)-f(
x
2
)=
x
1
+
a
2
x
1
-
x
2
-
a
2
x
2
=(
x
1
-
x
2
)(1-
a
2
x
1
x
2
)
.
因为0<x
1
<x
2
≤a,所以0<x
1
x
2
<a
2
,从而
1-
a
2
x
1
x
2
<0
且x
1
-x
2
<0,故f(x
1
)-f(x
2
)>0,即f(x
1
)>f(x
2
).
因此函数f(x)在区间(0,a]上单调递减;同理可以证明函数f(x)在区间[a,+∞)上单调递增;
(3)∵f(x)是奇函数;在区间(0,a]上单调递减,在区间[a,+∞)上单调递增;
∴函数f(x)在区间(-∞,-a]上单调递增,在区间[-a,0)上单调递减,
综上所述:函数f(x)在区间(-∞,-a]上单调递增,在区间[-a,0)上单调递减,在(0,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增.
举一反三
已知y=f(x)是R上的增函数,且f(2m)<f(9-m),则实数m的取值范围是( )
A.(3,+∞)
B.(-∞,3)
C.(-∞,0)
D.(-3,3)
题型:单选题
难度:一般
|
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已知
f(x)=
x+1
x-2
,则f(3)等于( )
A.3
B.2
C.1
D.0
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
函数f(x)=(a-1)x+2是增函数,则a的取值范围是( )
A.a>1
B.a>0
C.a<0
D.a<1
题型:单选题
难度:一般
|
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已知
f(x)=
(3a-2)x-2a,x≤1
log
a
x,,x>1
在R上为增函数,那么a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知偶函数f(x)的定义域为R,且在(-∞,0)上是增函数,则f(-
3
4
)与f(a
2
-a+1)(a∈R)的大小关系是( )
A.f(-
3
4
)≤f(a
2
-a+1)
B.f(-
3
4
)≥f(a
2
-a+1)
C.f(-
3
4
)<f(a
2
-a+1)
D.f(-
3
4
)>f(a
2
-a+1)
题型:单选题
难度:简单
|
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