已知函数f(x)=x3-ax.(I)当a=3时,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值;(II)已知函数g(x)=ax(|x+a|-1),记h(x)=f(x
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x3-ax. (I)当a=3时,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值; (II)已知函数g(x)=ax(|x+a|-1),记h(x)=f(x)-g(x)(x∈[0,2]),当函数h(x)的最大值为0时,求实数a的取值范围. |
答案
(I)∵f(x)=x3-ax,∴f"(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1) ∵f"(x)>0⇒x>1或x<-1,且x∈[-2,2]∴函数f(x)在[-2,-1]上递增,[-1,1]上递减,[1,2]上递增 ∵f(-2)=f(1)=-2,∴fmin(x)=-2,∵f(0)=-2,而f(2)=2,∴fmax(x)=2 (II)h(x)=f(x)-g(x)=x3-ax|x+a|(x∈[0,2]), (1)当a≤0时,h(x)=x3-ax|x+a|≥0 ∵h(0)=0,且0<x≤2时h(x)>0显然不符合题意 (2)当a>0时,∵x≥0,h(x)=x3-ax2-a2x≥0 ∴h"(x)=3x2-2ax-a2=(x-a)(3x+a) ∵x≥0,h"(x)>0⇒x>a ①当a≥2时,必有h"(x)≤0,∴h(x)在[0,2]上递减,则最大值为h(0)=0,满足题设 ②当0<a<2时,∵h"(x)>0⇒x>a∴h(x)在[0,a]上递减,在[a,2]上递增 则h(x)max=max(h(0),h(2)) ∵h(0)=0只需h(2)≤0,即8-4a-2a2≤0 ∴-1≤a<2 ∴实数a的取值范围[-1,+∞) |
举一反三
设f(x)为奇函数,且在(-∞,0)内是减函数,f(-2)=0,则xf(x)<0的解集为( )A.(-1,0)∪(2,+∞) | B.(-∞,-2)∪(0,2) | C.(-∞,-2)∪(2,+∞) | D.(-2,0)∪(0,2 |
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已知函数f(x)=的图象过点(0,-1). (1)求f(x)的解析式; (2)设P1(x1,y1),P2(x2,y2)为y=f(x)的图象上两个不同点,又点P(xP,yP)满足:=(+),其中O为坐标原点.试问:当xP=时,yP是否为定值?若是,求出yP的值,若不是,请说明理由. |
函数y=(a-1)x+b在R上是减函数,则a的取值范围是______. |
下列函数中,同时具有性质:(1)图象过点(0,1);(2)在区间(0,+∞)上是减函数;(3)是偶函数.这样的函数是( )A.y=x3+1 | B.y=log2(|x|+2) | C.y=()|x| | D.y=2|x| |
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