已知函数f(x)=|ax-2|+blnx(x>0,实数a,b为常数).(1)若a=1,f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,求b的取值范围;(2)若a≥2,b=

已知函数f(x)=|ax-2|+blnx(x>0,实数a,b为常数).(1)若a=1,f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,求b的取值范围;(2)若a≥2,b=

题型:解答题难度:一般来源:江苏二模
已知函数f(x)=|ax-2|+blnx(x>0,实数a,b为常数).
(1)若a=1,f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,求b的取值范围;
(2)若a≥2,b=1,求方程f(x)=
1
x
在(0,1]上解的个数.
答案
(1)f(x)=|x-2|+blnx=





-x+2+blnx,(0<x<2)
x-2+blnx,(x≥2)

①当0<x<2时,f(x)=-x+2+blnx,f′(x)=-1+
b
x

由条件,得-1+
b
x
≥0恒成立,即b≥x恒成立.
∴b≥2
②当x≥2时,f(x)=x-2+blnx,f"(x)=1+
b
x

由条件,得1+
b
x
≥0恒成立,即b≥-x恒成立
∴b≥-2
∵f(x)的图象在(0,+∞)不间断,
综合①,②得b的取值范围是b≥2.
(2)令g(x)=|ax-2|+lnx-
1
x
,即g(x)=





-ax+2+lnx-
1
x
,(0<x<
2
a
)
ax-2+lnx-
1
x
,(x≥
2
a
).

0<x<
2
a
时,g(x)=-ax+2+lnx-
1
x
g′(x)=-a+
1
x
+
1
x2

0<x<
2
a
,∴
1
x
a
2
,则g′(x)>-a+
a
2
+
a2
4
=
a(a-2)
4
≥0

即g"(x)>0,∴g(x)在(0,
2
a
)
上是单调增函数.
x≥
2
a
时,g(x)=ax-2+lnx-
1
x
g′(x)=a+
1
x
+
1
x2
>0

∴g(x)在(
2
a
,+∞)
上是单调增函数.
∵g(x)的图象在(0,+∞)上不间断,
∴g(x)在(0,+∞)上是单调增函数.
g(
2
a
)=ln
2
a
-
a
2
,而a≥2,∴ln
2
a
≤0
,则g(
2
a
)<0
.g(1)=|a-2|-1=a-3
①当a≥3时,
∵g(1)≥0
,∴g(x)=0在(0,1]上有惟一解.
即方程f(x)=
1
x
解的个数为1个.
②当2≤a<3时,
∵g(1)<0,
∴g(x)=0在(0,1]上无解.
即方程f(x)=
1
x
解的个数为0个.
举一反三
用单调性定义证明函数g(x)=
1
x
在(0,+∞)上单调递减.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知a、b∈R,定义:(1)设a<b,则a⊕b=a,a⊗b=b;(2)有括号的先计算括号.那么下式 (2003⊕2004)⊗(2005⊕2006)的运算结果为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知f(2x+1)=5x+
1
2
,那么f(2)的值是(  )
A.3B.2C.1D.0
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=





3x,    x≤1
-x,    x>1
,则f[f(2)]=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若定义域为(-1,1)的奇函数y=f(x)又是减函数,且f(a-3)+f(9-a2)<0,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
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