设函数f(x)=ax+3a(其中a>0且a≠1).(1)求函数y=f-1(x)的解析式;(2)设函数g(x)=loga(x-a),h(x)=f-1(x)+g(x
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=ax+3a(其中a>0且a≠1). (1)求函数y=f-1(x)的解析式; (2)设函数g(x)=loga(x-a),h(x)=f-1(x)+g(x),如果当x∈[a+2,+∞)时,h(x)≤1恒成立,求a的取值范围. |
答案
(1)f-1(x)=loga(x-3a),x∈(3a,+∞).…(4分) (2)h(x)=f-1(x)+g(x)=loga(x-3a)+loga(x-a)=loga(x2-4ax+3a2),x∈(3a,+∞).…(6分) 依题意,a+2>3a⇒0<a<1.…(8分) 由h(x)≤1⇒loga(x2-4ax+3a2)≤1⇒x2-4ax+3a2≥a,即x2-4ax+3a2-a≥0.…(10分) 设T(x)=x2-4ax+3a2-a,其对称轴x=2a<a+2,所以函数T(x)在[a+2,+∞)单调递减. 由T(x)min=T(a+2)=(a+2)2-4a(a+2)+3a2-a=4-5a≥0,解得a≤.…(13分) 又0<a<1,所以a的取值范围是( 0 , ].…(14分) |
举一反三
已知函数f(x)=, 其中 a∈R. (1)当a=1时,求函数满足f(x)≤1时的x的集合; (2)求a的取值范围,使f(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数. |
函数y=f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,且对于任意的x、y∈R,都满足f(x)•f(y)=f(x+y),则下列四个结论中,正确的个数是( ) (1)f(0)=0; (2)对任意x∈R,都有f(x)>0; (3)f(0)=1; (4)若x<0时,有f(x)>f(0),则f(x)在R上的单调递减. |
给出下列命题:(1)函数y=x+的最小值是2; (2)函数y=x+2-3的最小值是-2;(3)函数y=的最小值是;(4)函数y=在(-∞,0)∪(0,+∞)内递减;(5)幂函数y=x为偶函数且在(-∞,0)内递增;其中真命题的序号有:______ (你认为正确命题的序号都填上) |
阅读不等式2x+1>3x的解法: 设f(x)=()x+()x,函数y=()x和y=()x在R内都单调递减;则f(x)在(-∞,+∞)内单调递减. ∵f(1)=1,∴当x<1时,()x+()x>1,当x≥1时,()x+()x≤1. ∵3x>0,∴不等式2^+1>3x的解为x<1; (1)试利用上面的方法解不等式2x+3x≥5x; (2)证明:3x+4x=5x有且仅有一个实数解x=2. |
若x∈(-∞,1),则函数y=有( )A.最小值1 | B.最大值1 | C.最大值-1 | D.最小值-1 |
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