对定义在实数集R上的函数f1(x),f2(x),令F(x)=f1(x)+f2(x),已知对任意不同的实数x1,x2,|f1(x1)-f1(x2)|>|f2(x1
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对定义在实数集R上的函数f1(x),f2(x),令F(x)=f1(x)+f2(x),已知对任意不同的实数x1,x2,|f1(x1)-f1(x2)|>|f2(x1
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
对定义在实数集R上的函数f
1
(x),f
2
(x),令F(x)=f
1
(x)+f
2
(x),已知对任意不同的实数x
1
,x
2
,|f
1
(x
1
)-f
1
(x
2
)|>|f
2
(x
1
)-f
2
(x
2
)|.
(1)若y=f
1
(x)是区间D上的增函数,能否确定y=F(x)是区间D上的增函数?若能够确定,说明理由;若不能,请举例说明;
(2)若y=f
2
(x)是区间D上的增函数,能否确定y=F(x)是区间D上的增函数?若能够确定,说明理由;若不能,请举例说明;
(3)求函数
f(x)=
x
2
+
1
4x
(x>0)
的单调区间.
答案
(1)设x
1
<x
2
由y=f
1
(x)是区间D上的增函数可得f
1
(x
1
)<f
1
(x
2
)
①若f
2
(x)为单调递增或常函数,则y=F(x)是区间D上的增函数
②若函数f
2
(x
1
)>f
2
(x
2
),则由|f
1
(x
1
)-f
1
(x
2
)|>|f
2
(x
1
)-f
2
(x
2
)|可得,-f
1
(x
1
)+f
1
(x
2
)|>f
2
(x
1
)-f
2
(x
2
)
∴f
1
(x
1
)+f
2
(x
1
)<f
1
(x
2
)+f
2
(x
2
)即F(x
1
)<F(x
2
)
综上可得函数F(X)为单调递增的函数
(2)例如函数f
1
(x)=-3
x
,f
2
(x)=2
x
,则F(x)=2
x
-3
x
不是单调递增函数
(3)
f
′
(x)=2x-
1
4
x
2
=
8
x
3
-1
4
x
2
∵x>0由f′(x)≥0可得x
≥
1
2
,f′(x)<0可得
0<x<
1
2
函数f(x)的单调增区间是[
1
2
,+∞
),单调减区间是(0,
1
2
)
举一反三
记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x-[x],则函数y={x}:
①定义域为R;
②值域为[0,1];
③在定义域上是单调增函数;
④是周期为1的周期函数;
⑤是奇函数.
其中正确判断的序号是______(把所有正确的序号都填上).
题型:填空题
难度:一般
|
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函数f(x)=a
x
(a>0且a≠1)是R上的减函数,则a的取值范围( )
A.(0,1)
B.[0,1)
C.(0,1]
D.[0,1]
题型:单选题
难度:一般
|
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函数
f(x)=
x+b
x-a
,x∈[-1,+∞)是增函数的一个充分非必要条件是( )
A.a<1且b>3
B.a>-1且b>1
C.a>1且b>-1
D.a<-2且b<2
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
(理) 已知函数f(x)=x
3
+x,关于x的不等式f(mx-2)+f(x)<0在区间[1,2]上有解,则实数m的取值范围为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=1
0
x
-
1
10
x
,那么f(x)是( )
A.偶函数又是增函数
B.偶函数又是减函数
C.奇函数又是增函数
D.奇函数又是减函数
题型:单选题
难度:简单
|
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