已知函数f(x)=loga(x+1),若函数y=g(x)的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象:(1)写出g(x)的解析式(2)记F
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=loga(x+1),若函数y=g(x)的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象: (1)写出g(x)的解析式 (2)记F(x)=f(x)+g(x),讨论F(x)的单调性 (3)若a>1,x∈[0,1)时,总有F(x)=f(x)+g(x)≥m成立,求实数m的取值范围. |
答案
(1)设P(x,y)是函数y=g(x)图象上的任意一点 则P关于原点的对称点Q的坐标为(-x,-y) ∵已知点Q在函数f(x)的图象上 ∴-y=f(-x),而f(x)=loga(x+1) ∴-y=loga(-x+1) ∴y=-loga(-x+1) 而P(x,y)是函数y=g(x)图象上的点 ∴y=g(x)=-loga(-x+1)=-loga(1-x) (2)F(x)=f(x)+g(x)=loga(x+1)-loga(1-x)=loga, 则函数F(x)=loga的定义域为(-1,1), 令h(x)=,则h′(x)=, ∵当x∈(-1,1)时,h′(x)≥0恒成立 故h(x)=在(-1,1)上单调递增, 当0<a<1时,y=logat为减函数,此时F(x)=loga为减函数, 当a>1时,y=logat为增函数,此时F(x)=loga为增函数. (3)由(2)得若a>1 当x∈[0.1)时,F(x)=loga为增函数 此时F(x)min=F(0)=loga1=0 ∴m≤0 ∴所求m的取值范围:m≤0 |
举一反三
已知函数f(x)=x2+2x,若存在实数t,当x∈[1,m]时,f(x+t)≤3x恒成立,则实数m的最大值为______. |
函数f(x)=log2(-x2+2x+3)的单调减区间是( )A.(-3,1) | B.(1+∞) | C.(-1,1] | D.(1,3) |
|
设a=lnz+ln[x(yz)-1+1],b=lny+ln[(xyz)-1+1],记a,b中最大数为M,则M的最小值为______. |
已知函数f(x)为偶函数,且当x>0,f(x)=log2x+1,则f(-4)=( ) |
最新试题
热门考点