已知函数f（x）=log 12（1+x），g（x）=log 12（1-x）．（1）判断函数f（x）-g（x）的奇偶性，并予以证明；（2）求使f（x）-g（x）＞

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=log 

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（1+x），g（x）=log 

1

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（1-x）．
（1）判断函数f（x）-g（x）的奇偶性，并予以证明；
（2）求使f（x）-g（x）＞0的x的取值范围．

答案

（1）由1+x＞0，1-x＞0得，-1＜x＜1，定义域为{x|-1＜x＜1}；
记h（x）=f（x）-g（x）=log

1

2

(1+x)-log

1

2

(1-x)，显然定义域关于原点对称，
∵h（-x）=f（-x）-g（-x）=log

1

2

(1-x)-log

1

2

(1+x)，∴h（-x）=-h（x），
所以f（x）-g（x）是奇函数．
（2）f（x）-g（x）＞0，即log

1

2

(1+x)＞log

1

2

(1-x)，
所以

1+x＞0 1+x＜1-x

，解得-1＜x＜0，
所以x的取值范围为（-1，0）．