对于任意实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,如[4.3]=4、[-2.3]=-3、[4]=4,函数f(x)=[x]叫做“取整函数”,也叫做高斯(Gauss

对于任意实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,如[4.3]=4、[-2.3]=-3、[4]=4,函数f(x)=[x]叫做“取整函数”,也叫做高斯(Gauss

题型:解答题难度:一般来源:不详
对于任意实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,如[4.3]=4、[-2.3]=-3、[4]=4,函数f(x)=[x]叫做“取整函数”,也叫做高斯(Gauss)函数.这个函数在数学本身和生产实践中都有广泛的应用.
从函数f(x)=[x]的定义可以得到下列性质:x-1<[x]≤x<[x+1];与函数f(x)=[x]有关的另一个函数是g(x)={x},它的定义是{x}=x-[x],函数g(x)={x}叫做“取零函数”,这也是一个常用函数.
(1)写出f(5.2)的值及g(x)的值域;
(2)若F(n)=f(log2n)(1≤n≤210,n∈N),写出F(x)的解析式;
(3)求F(1)+F(2)+F(3)+…+F(16)的值.
答案
(1)∵f(x)=[x]
∴f(5.2)=[5.2]=5
由“取整函数”的定义及g(x)={x}=x-[x],
当x为非负数或负整数时,g(x)值即为x的小数部分
当x为负非整数时,g(x)值即为x的小数部分与1的和
故g(x)的值域为[0,1)
(2)∵F(n)=f(log2n)(1≤n≤210,n∈N)
∴F(n)=





0,n=1
1,2≤n<4
2,4≤n<8
3,8≤n<16
4,16≤n<32
5,32≤n<64
6,64≤n<128
7,128≤n<256
8,256≤n<512
9,512≤n<1024
10,n=1024

(3)由(2)得
F(1)+F(2)+F(3)+…+F(16)
=0+1+1+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3+4
=38
举一反三
函数f(x)=2x-1+


x-2
的最小值是(  )
A.3B.4C.5D.6
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知f(θ)=
2cos3θ+sin2(2π-θ)+sin(
π
2
+θ)-3
2+2cos2(π+θ)+cos(-θ)
,则f(
π
3
)的值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=(
1
2
)x2-2x-3
单调减区间是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知f(x)=sin2x+cos2x
(I)求f(
π
12
)的值
(II)设A为三角形ABC的内角,f(
A
2
)=


2
2
,求tanA的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f (x)=





-2x-1    x<0 
2x   x>0 
则f[f (-2)]=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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