(1)f1(θ)、f3(θ)在0≤θ≤,上均为单调递增的函数. 对于函数f1(θ)=sinθ-cosθ,设 θ1<θ2,θ1、θ2∈[0,],则 f1(θ1)-f1(θ2)=(sinθ1-sinθ2)+(cosθ2-cosθ1), ∵sinθ1<sinθ2,cosθ2<cosθ1 ∴f1(θ1)<f1(θ2)函数f1(θ)在[0,]上单调递增. (2)∵原式左边=2(sin6θ+cos6θ)-(sin4θ+cos4θ) =2(sin2θ+cos2θ)(sin4θ-sin2θcos2θ+cos4θ)-(sin4θ+cos4θ) =1-sin22θ=cos22θ. 又∵原式右边=(cos2θ-sin2θ)2=cos22θ ∴2f6(θ)-f4(θ)=(cos4θ-sin4θ)(cos2θ-sin2θ). (3)当n=1时,函数f1(θ)在[0,]上单调递增, ∴f1(θ)的最大值为f1()=0,最小值为f1(0)=-1. 当n=3时,函数f3(θ)在[0,]上为单调递增. ∴f3(θ)的最大值为f3()=0,最小值为f3(0)=-1. 下面讨论正奇数n≥5的情形:对任意θ1、θ2∈[0,],且θ1<θ2 ∵fn(θ1)-fn(θ2)=(sinnθ1-sinnθ2)+(cosnθ2-cosnθ1), 以及 0≤sinθ1<sinθ2<1 0≤cosθ2<cosθ1<1, ∴sinnθ1<sinnθ2 cosnθ2<cosnθ1,从而fn(θ1)<fn(θ2). ∴fn(θ)在[0,]上为单调递增, 则fn(θ)的最大值为fn()=0,最小值为fn(0)=-1. 综上所述,当n为奇数时,函数fn(θ)的最大值为0,最小值为-1. |