已知函数f(x)=(2x-a)2+(2-x+a)2,x∈[-1,1].(1)求f(x)的最小值;(2)关于x的方程f(x)=2a2有解,求实数a的取值范围.

已知函数f(x)=(2x-a)2+(2-x+a)2,x∈[-1,1].(1)求f(x)的最小值;(2)关于x的方程f(x)=2a2有解,求实数a的取值范围.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=(2x-a)2+(2-x+a)2,x∈[-1,1].
(1)求f(x)的最小值;
(2)关于x的方程f(x)=2a2有解,求实数a的取值范围.
答案
(1)f(x)=(2x-a)2+(2-x+a)2=22x+2-2x-2a(2x-2-x)+2a2=(2x-2-x2-2a(2x-2-x)+2a2+2
令t=2x-2-x,则当x∈[-1,1]时,t关于x的函数是单调递增
t∈[-
3
2
3
2
]
,此时f(x)=t2-2at+2a2+2=(t-a)2+a2+2
a<-
3
2
时,f(x)min=f(-
3
2
)=2a2+3a+
17
4

-
3
2
≤a≤
3
2
时,f(x)min=a2+2
a>
3
2
时,f(x)min=f(
3
2
)=2a2-3a+
17
4

(2)方程f(x)=2a2有解,即方程t2-2at+2=0在[-
3
2
3
2
]
上有解,而t≠0
2a=t+
2
t
,可证明t+
2
t
(0,


2
)
上单调递减,(


2
3
2
)
上单调递增t+
2
t
≥2


2
t+
2
t
为奇函数,
∴当t∈(-
3
2
,0)
t+
2
t
≤-2


2

∴a的取值范围是(-∞,-


2
]∪[


2
,+∞)
举一反三
已知函数f(x)=





2x,x≥0
x2,x<0
,则f[f(-2)]=(  )
A.16B.8C.-8D.8或-8
题型:单选题难度:简单| 查看答案
设函数f(x)=
a•2x-1
1+2x
是实数集R上的奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断f(x)在R上的单调性并加以证明;
(3)求函数f(x)的值域.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=





x-2(x<2)
f(x-1)(x≥2)
,则f(100)=(  )
A.-1B.0C.1D.2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=3x2-5x+2,则f(-


2
)
的值为(  )
A.8-5


2
B.0C.8+5


2
D.4
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数y=f(x)对于任意正实数x、y,都有f(xy)=f(x)•f(y),当x>1时,0<f(x)<1,且f(2)=
1
9

(1)求证:f(x)f(
1
x
)=1(x>0)

(2)判断f(x)在(0,+∞)的单调性;并证明;
(3)若f(m)=3,求正实数m的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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