设f（x）是定义在实数集R上的函数且满足f（x+2）=f（x+1）-f（x）．已知f（1）=lg32，f（2）=lg15．（1）通过计算f（3），f（4），…，

题型：解答题难度：一般来源：不详

设f（x）是定义在实数集R上的函数且满足f（x+2）=f（x+1）-f（x）．已知f（1）=lg

，f（2）=lg15．
（1）通过计算f（3），f（4），…，由此猜测函数的周期T，并据周期函数的定义给出证明；
（2）求f（2009）的值．

答案

解（1）f（1）=lg

f（2）=lg15
f（3）=f（2）-f（1）=lg15-（lg3-lg2）=lg5+lg2=1
f（4）=f（3）-f（2）=1-lg15       …+3
f（5）=f（4）-f（3）=1-lg15-1=-lg15     …+4
f（6）=f（5）-f（4）=-lg15-（1-lg15）=-1  …+5
f（7）=f（6）-f（5）=-1+lg15=lg

…+6
猜测：T=6 …+7
证明：f（x+2）=f（x+1）-f（x）
f（x+3）=f（x+2）-f（x+1）=f（x+1）-f（x）-f（x+1）=-f（x）
f（x+6）=-f（x+3）=f（x）
所以 f（x）是一个周期为6的函数
（2）因为f（2009）=f（6×334+5）=f（5）=-lg15

举一反三

已知分段函数f（x）=

x(x＞0)

x2(x≤0)

，则f（-1）=______．

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已知f(x)=

(4-

)x+2

x≤1

x＞1

是（-∞，+∞）上的增函数，则a的取值范围是______．

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问题1：已知函数f(x)=

1+x

，则f(

)+f(

)+…+f(

)+f(1)+f(2)+…+f（9）+f（10）=______．
我们若把每一个函数值计算出，再求和，对函数值个数较少时是常用方法，但函数值个数较多时，运算就较繁锁．观察和式，我们发现f(

)+f(2)、…、f(

)+f(9)、f(

)+f(10)可一般表示为f(

)+f(x)=

1+x

=1为定值，有此规律从而很方便求和，请求出上述结果，并用此方法求解下面问题：
问题2：已知函数f(x)=

2x+

，求f（-2007）+f（-2006）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（2007）+f（2008）的值．

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设函数y=f（x）的定义域为全体R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立，数列{a_n}满足a₁=f（0），且f(an+1)=

f(-2-an)

（n∈N^*）
（1）求证：y=f（x）是R上的减函数．
（2）求证：{a_n}是等差数列，并求通项a_n．
（3）若不等式(1+

)(1+

)…(1+

)≥k

2n+1

对一切n∈N^*均成立，求k的最大值．

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已知函数f（x）=a^x+a^-x（a＞0，a≠1），且f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是______．

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