(1)令x=-1,y=0,得f(-1)=f(-1)•f(0), 由题意知f(-1)≠0,所以f(0)=1,故a1=f(0)=1. 当x>0时,-x<0,f(0)=f(-x)•f(x)=1,进而得0<f(x)<1. 设x1,x2∈R且x1<x2,则x2-x1>0,0<f(x2-x1)<1,f(x2)-f(x1)=f(x1+(x2-x1))-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]<0. 即f(x2)<f(x1),所以y=f(x)是R上的减函数.
(2)由f(an+1)=得f(an+1)f(-2-an)=1, 所以f(an+1-an-2)=f(0). 因为y=f(x)是R上的减函数,所以an+1-an-2=0, 即an+1-an=2, 所以{an}是以1为首项,2为公差的等差数列. 所以an=1+(n-1)×2=2n-1.
(3)由(1+)(1+)(1+)≥k对一切n∈N*均成立. 知k≤对一切n∈N*均成立. 设F(n)=, 知F(n)>0且F(n+1)=, 又==>1. 故F(n)为关于n的单调增函数,F(n)≥F(1)=. 所以k≤,k的最大值为 |