已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)e-x(x∈R,e为自然对数的底数).(I)当a=-2时,求函数,f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)若函数f(x)在(-1
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)e-x(x∈R,e为自然对数的底数). (I)当a=-2时,求函数,f(x)的单调递减区间; (Ⅱ)若函数f(x)在(-1,1)内单调递减,求a的取值范围; (III)函数f(x)是否为R上的单调函数,若是,求出a的取值范围:若不是,请说明理由. |
答案
(Ⅰ)当a=-2时,f(x)=(-x2-2x)e-x;f′(x)=(x2-2)e-x 令f′(x)<0,得x2-2<0,∴-<x< ∴f(x)的单调递减区间是(-,); (Ⅱ)f′(x)=[x2-(a+2)x+a]e-x,若f(x)在(-1,1)内单调递减,即当-1<x<1时,f′(x)≤0, 即x2-(a+2)x+a≤0对x∈(-1,1)恒成立; 令g(x)=x2-(a+2)x+a,则 ∴,解得a≤-; (III)f′(x)=[x2-(a+2)x+a]e-x,其正负取决于二次式x2-(a+2)x+a,该二次式值(首项为正)不可能永为负,也就是说原函数不可能是整个实数域上的单调递减函数; 若要成为单调递增函数,则x2-(a+2)x+a≥0对x∈R恒成立 ∵△=(a+2)2-4a=a2+4>0 ∴函数不可能在R上单调递增 综上可知,函数f(x)不可能为R上的单调函数. |
举一反三
定义在R上的函数y=f(x),它同时具有下列性质: ①对任何x∈R均有f(x3)=[f(x)]3;②对任何x1,x2∈R,x1≠x2均有f(x1)≠f(x2). 则f(0)+f(-1)+f(1)=______. |
已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数,若对任意x∈(0,+∞),都有f[f(x)-]=2,则f()的值是______. |
已知函数g(x)=+lnx在[1,+∞)上为增函数,且θ∈(0,π),f(x)=mx--lnx,m∈R. (1)求θ的值; (2)若f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调函数,求m的取值范围; (3)设h(x)=,若在[1,e]上至少存在一个x0,使得f(x0)-g(x0)>h(x0)成立,求m的取值范围. |
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