定义运算a*b=a (a≤b)b (a>b),例如,1*2=1,则函数f(x)=x2*(1-|x|)的最大值为______.

定义运算a*b=a (a≤b)b (a>b),例如,1*2=1,则函数f(x)=x2*(1-|x|)的最大值为______.

题型:填空题难度:简单来源:绍兴一模
定义运算a*b=





a (a≤b)
b (a>b)
,例如,1*2=1,则函数f(x)=x2*(1-|x|)的最大值为______.
答案
由题意知
∵a*b=





a (a≤b)
b (a>b)

∴函数f(x)=x2*(1-|x|)可化简为:f(x)=





x2(x2≤1-|x|)
1-|x|(x2>1-|x|)

令t=|x|得:f(t)=





t2(t2≤1-t)
1-t(t2>1-t)

∴要求原分段函数的最大值,只需求f(t)=





t2(t2≤1-t)
1-t(t2>1-t)
的最大值
即:f(t)=





t2(0≤ t≤
-1+


5
2
)
1-t(t>
-1+


5
2
)

又∵函数f(t)在区间[0,
-1+


5
2
]上单调递增函数,在区间(
-1+


5
2
,+∞)上单调递减函数,
∴f(t)的最大值在t=
-1+


5
2
时取得,即f(t)max=f(
-1+


5
2
)=
3-


5
2

故答案为:
3-


5
2
举一反三
已知函数f(x)=





x+1(x≤1)
-x+3(x>1)
,则f[f(
5
2
)]
=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数y=f(x),x∈R满足f(x)=af(x-1),a是不为0的实常数.
(1)若当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),求函数y=f(x),x∈[0,1]的值域;
(2)若当0≤x<1时,f(x)=x(1-x),求函数y=f(x),x∈[n,n+1),n∈N的解析式;
(3)若当0<x≤1时,f(x)=3x,试研究函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是否可能是单调函数?若可能,求出a的取值范围;若不可能,请说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知奇函数y=f(x)满足条件f(x+1)=f(x-1),当x∈[0,1]时f(x)=2x-1,则f(-log26)的值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,当x∈(0,1]时,f(x)=2tx-4x3(t为常数)
(1)求f(x)的表达式;
(2)当0<t≤6时,用定义证明f(x)在[-


6t
6


6t
6
]
上单调递增;
(3)当t>6时,是否存在t使f(x)的图象的最高点落在直线y=12上.若存在,求出t的值,若不存在,说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若f(x)=
4x
4x+2
,则f(
1
2005
)+f(
2004
2005
)=______.
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