设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,当x∈(0,1]时,f(x)=2tx-4x3(t为常数)(1)求f(x)的表达式;(2)当0<t≤6时,用定义证明f(

设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,当x∈(0,1]时,f(x)=2tx-4x3(t为常数)(1)求f(x)的表达式;(2)当0<t≤6时,用定义证明f(

题型:解答题难度:一般来源:不详
设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,当x∈(0,1]时,f(x)=2tx-4x3(t为常数)
(1)求f(x)的表达式;
(2)当0<t≤6时,用定义证明f(x)在[-


6t
6


6t
6
]
上单调递增;
(3)当t>6时,是否存在t使f(x)的图象的最高点落在直线y=12上.若存在,求出t的值,若不存在,说明理由.
答案
(1)设x∈[-1,0),则-x∈(0,1],
∴f(-x)=-2tx+4x3
∵f(x)为定义在R上的奇函数
∴f(x)=-f(-x)=2tx-4x3
∴f(x)的表达式为:f(x)=





2tx-4x 3,x∈(0,1]
0.x=0
2tx-4x 3,x∈[-1,0)

(2)先设x1、x2[0,


6t
6
]
,令x1<x2,则有x1-x2<0.
f(x1)-f(x2)=2tx1-4x13-(2tx2-4x23
=2t(x1-x2)-4(x13-x23)=(x1-x2)[2t+4(x12+x2x1+x22)]
∵x1、x1[0,


6t
6
]
,x1-x2<0
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在[0,


6t
6
]
上单调递增.
(3)当t>6时,


6t
6
>1
,由(2)得f(x)在[-1,1]上单调递增,
令f(1)=12,存在t=8,满足条件.
举一反三
若f(x)=
4x
4x+2
,则f(
1
2005
)+f(
2004
2005
)=______.
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已知f(x)=





x+1,x∈(-∞,1)
-x+3,x∈(1,+∞)
则f[f(
5
2
)]=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
定义在[-1,1]上的奇函数,已知当x∈[-1,0]时的解析式f(x)=
1
4x
-
a
2x
(a∈R)

(1)写出f(x)在[0,1]上的解析式;
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数y=x+
4
x
 的单调递增区间为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=


5
a
x+


5
(a-1)
x
,(x≠0)(a≠0).
(1)试就实数a的不同取值,写出该函数的单调递增区间;
(2)已知当a>0时,函数在(0,


6
)上单调递减,在(


6
,+∞)
上单调递增,求a的值并写出函数的解析式;
(3)若函数f(x)在区间[-


6
6
,0)∪(0,


6
6
]
内有反函数,试求出实数a的取值范围.
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