已知函数f（x）=log2（2x+1）（1）求证：函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增；（2）记f-1（x）为函数f（x）的反函数，关于x的方程f-1（x）=
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已知函数f（x）=log2（2x+1）
（1）求证：函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增；
（2）记f-1（x）为函数f（x）的反函数，关于x的方程f-1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围． |
答案
（1）任取x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=log2（2x1+1）-log2（2x2+1）=log2，
∵x1＜x2，∴0＜2x1+1＜2x2+1，
∴0＜＜1，log2＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
即函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增
（2）∵f-1（x）=log2（2x-1）（x＞0），
∴m=f-1（x）-f（x）=log2（2x-1）-log2（2x+1）=log2=log2(1-)
当1≤x≤2时，≤≤，
∴≤1-≤
∴m的取值范围是[log2()，log2()] |
举一反三
| 请设计一个函数，使其具有以下性质：（1）是奇函数，（2）定义域是（-∞，+∞），（3）值域是（-1，1）______． |
已知函数f（x）的图象可由函数g(x)=(m为非零常数)的图象向右平移两个单位而得到．
（1）写出函数f（x）的解析式；
（2）证明函数f（x）的图象关于直线y=x对称；
（3）问：是否存在集合M，当x∈M时，函数f（x）的最大值为2+m2，最小值为2-；若存在，试求出一个集合M；若不存在，请说明理由． |
已知函数f（x）对任意的x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且x＜0时，f（x）＞0．
（1）求证：函f（x）是奇函数；
（2）求证：函数f（x）是R上的减函数；
（3）若定义在（-2，2）上的函数f（x）满足f（-m）+f（1-m）＜0，求实数m的取值范围． |
| 命题p：∃x0∈[-1，1]，满足x02+x0+1＞a，使命题p为真的实数a的取值范围为______． |
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