已知函数f(x)=a•2x+a-22x+1（1）当a为何值时，f（x）为奇函数；（2）求证：f（x）为R上的增函数．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

（1）当a为何值时，f（x）为奇函数；
（2）求证：f（x）为R上的增函数．

答案

（1）由f（0）=0，得a=1，则f（x）=

2x-1

2x+1

．
函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．
又f（-x）=

2-x-1

2-x+1

1-2x

1+2x

2x-1

2x+1

=-f（x）．
所以a=1时，f（x）为奇函数．
（2）证明：函数可化为f(x)=a-

2x+1

，定义域为R．
设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（a-

2x1+1

）-（a-

2x2+1

）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

．
因为x₁＜x₂，所以2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）为R上的增函数．

举一反三

（1）求证：函数f(x)=

x+3

x+1

在区间（-1，+∞）上是单调减函数；
（2）写出函数f(x)=

x+1

x+3

的单调区间；
（3）讨论函数f(x)=

x+a

x+2

在区间（-2，+∞）上的单调性．

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函数y=f（x）为偶函数且在[0，+∞）上是减函数，则f（4-x²）的单调递增区间为 ______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

已知函数f(x)=

2x，(x≥0)

2x，(x＜0)

，则f[2f（-1）]的值=______．

题型：填空题难度：简单| 查看答案

已知函数f（x）=x-x^-1．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明
（Ⅱ）证明函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

设f（x）为定义在R上的函数，对于任意的实数x满足f（x+2）=f（x），且在区间[-1，1]上有f(x)=

ax+2，(-1≤x≤0)

logax，(0＜x≤1)

（a＞0且a≠1），则f(

)=______．

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