已知函数f(x)=x-x-1.(Ⅰ) 判断函数f(x)的奇偶性,并证明(Ⅱ) 证明函数f(x)在(0,+∞)上为增函数.
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x-x-1. (Ⅰ) 判断函数f(x)的奇偶性,并证明 (Ⅱ) 证明函数f(x)在(0,+∞)上为增函数. |
答案
(I)f(x)=x-x-1的定义域为{x|x≠0}, f(-x)=-x+x-1=-f(x) ∴函数f(x)为奇函数 (II)任取x1,x2∈(0,+∞),不妨设x1<x2,则有
| f(x1)-f(x2)=x1--(x2-) | =(x1-x2)+(-) | =(x1-x2)+() | =(x1-x2)(1+) | = |
| |
∵x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2 ∴x1-x2<0,x1x2+1>0,x1x2>0 ∴f(x1)-f(x2)<0 即f(x1)<f(x2) ∴函数f(x)在(0,+∞)上是增函数. |
举一反三
设f(x)为定义在R上的函数,对于任意的实数x满足f(x+2)=f(x),且在区间[-1,1]上有f(x)= | ax+2,(-1≤x≤0) | logax,(0<x≤1) |
| | (a>0且a≠1),则f()=______. |
函数f(x)=x|x-1|的单调减区间为______. |
(1)求证:函数f(x)=x+是奇函数; (2)已知函数g(x)=x+在区间(0,1)上是单调减函数,在区间(1,+∞)上是单调增函数;函数g(x)=x+在区间(0,2)上是单调减函数,在区间(2,+∞)上是单调增函数;猜想出函数g(x)=x+,(b>0),x∈(0,+∞)的单调区间; (3)指出函数h(x)=x+,x∈(-∞,0)在什么时候取最大值,最大值是多少. |
已知函数f(x)=则f(f(6))=______. |
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