已知二次函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，且在x轴上截得的线段长为2．若f（x）的最小值为-1，求：（1）函数f（x）的解析式；（2）函数f（x）在[t

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，且在x轴上截得的线段长为2．若f（x）的最小值为-1，求：
（1）函数f（x）的解析式；
（2）函数f（x）在[t，t+1]上的最小值g（t）．

答案

（1）因为y=f（x）的对称轴为x=2，f（x）的最小值为-1，
所以y=f（x）的顶点为（2，-1），
所以y=f（x）的解析式可设为f（x）=a（x-2）²-1，
又因为f（x）在x轴上截得的线段长为2，所以过（1，0）点，所以0=a（1-2）²-1，解得a=1．
所以y=f（x）的解析式为f（x）=（x-2）²-1．
（2）①当t+1＜2即t＜1时，g（t）=f（t+1）=（t-1）²-1；
②当t≤2，t+1≥2即1≤t≤2时，g（t）=f（2）=-1；
③当t＞2时，g（t）=f（t）=（t-2）²-1；
综上得 g(t)=

(t-1)2-1，t＜1 -1，1≤t≤2 (t-2)2-1，t＞2

．