已知f(x)是定义在R上的偶函数,定义在R上的奇函数g(x)过点(-1,3)且g(x)=f(x-1),则f(2007)+f(2008)=______.
题型:填空题难度:一般来源:不详
已知f(x)是定义在R上的偶函数,定义在R上的奇函数g(x)过点(-1,3)且g(x)=f(x-1),则f(2007)+f(2008)=______. |
答案
∵f(x)为R上的偶函数,∴f(-x)=f(x) ∵g(x)为R上的奇函数,∴g(-x)=-g(x) ∵g(x)=f(x-1) ⇒g(-x)=f(-x-1) ⇒-g(x)=f(-x-1) ⇒g(x)=-f(-x-1) ∴f(x-1)=-f(-x-1) 令-x-1=t,则:x=-t-1 ∴f(-t-2)=-f(t)…(1) 再令-t-2=u,则-u=t+2 而偶函数f(x)满足f(u)=f(-u) 即,f(-t-2)=f(t+2)…(2) 由(1)(2)得到:f(-t-2)=-f(t)=f(t+2) ∴f(t+2)=-f(t)…(3) ∴f[(t+2)+2]=-f(t+2)=-[-f(t)]=f(t) 即,f(t+4)=f(t) ∴偶函数f(x)也是以4为周期的周期函数 f(2007)=f(3+4×501)=f(3) f(2008)=f(0+4×502)=f(0) 由(3)得到,f(3)=-f(1) ∴f(2007)+f(2008)=f(3)+f(0)=-f(1)+f(0) 而,g(x)=f(x-1) 令x=0,那么:g(0)=f(0-1)=f(-1)=f(1) 所以,-f(1)=0 令x=1,那么:g(1)=f(1-1)=f(0) 所以,f(2007)+f(2008)=-g(0)+g(1) 因为在R上的奇函数g(x)必定满足:g(-x)=-g(x) 即,g(x)+g(-x)=0 所以,g(0)+g(-0)=0 则,g(0)=0 已知g(x)过点(-1,3),即:g(-1)=3 所以:g(1)=-g(-1)=-3 综上:f(2007)+f(2008)=-3 故答案为-3. |
举一反三
设a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=______ |
奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)=______. |
若函数f(x+2)=,则f(+2)•f(-102)=______. |
已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函数,且满足f(3x-2)<f(1),则实数x的取值范围是______. |
已知函数f(x)=,满足对任意x1≠x2,都有<0成立,则a的取值范围是______. |
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