已知函数f(x)=xx+1．（1）求f（f（2））的值；（2）判断函数在（-1，+∞）上单调性，并用定义加以证明．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

x

x+1

．
（1）求f（f（2））的值；
（2）判断函数在（-1，+∞）上单调性，并用定义加以证明．

答案

（1）∵函数f(x)=

x

x+1

．
∴f（2）=

2

3

∴f（f（2））=f（

2

3

）=

2

5

（2）函数在（-1，+∞）上单调递增，
理由如下：
任取区间（-1，+∞）上两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则x₁-x₂＜0，x₁+1＞，x₂+1＞0
则f（x₁）-f（x₂）=

x1

x1+1

-

x2

x2+1

=

x1-x2

(x1+1)•(x2+1)

＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
故函数在（-1，+∞）上为增函数