设函数f(x)=log12x+1x-1.(1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;(2)证明函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;(3)若x∈[3,+∞)时,不等
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设函数f(x)=log12x+1x-1.(1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;(2)证明函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;(3)若x∈[3,+∞)时,不等
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设函数
f(x)=lo
g
1
2
x+1
x-1
.
(1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;
(2)证明函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;
(3)若x∈[3,+∞)时,不等式
f(x)>(
1
2
)
x
+m
恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(1)函数f(x)是奇函数
由
x+1
x-1
>0
得x>1或x<-1,又
f(-x)=
log
1
2
-x+1
-x-1
=-f(x)
,∴函数f(x)是奇函数
(2)不妨设
u(x)=
x+1
x-1
,1<
x
1
<
x
2
,则
u
(x
1
)-u
(x
2
)=
2(
x
2
-
x
1
)
(
x
1
-1)(
x
2
-1)
,∵1<x
1
<x
2
,∴x
1
-1>0,x
2
-1>0,x
2
-x
1
>0,∴
u
(x
1
)-u
(x
2
)=
2(
x
2
-
x
1
)
(
x
1
-1)(
x
2
-1)
>0
,∴u(x
1
)>u(x
2
),
又
f(x)=lo
g
1
2
u(x)
,∴函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;
(3)由题意,x∈[3,+∞)时,不等式
f(x)>(
1
2
)
x
+m
恒成立,等价于
f(3)-
(
1
2
)
3
>m
,解得
m<-
9
8
.
举一反三
设函数y=f(x)的定义域为R,f(1)=2,且对任意x
1
,x
2
∈R,都有f(x
1
+x
2
)=f(x
1
)+f(x
2
),当x>0时,f(x)是增函数,则函数y=-f
2
(x)在区间[-3,-2]上的最大值是______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
若f(a+b)=f(a)•f(b)且f(1)=2.则
f(2)
f(1)
+
f(3)
f(2)
+…+
f(2012)
f(2011)
=______.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
设
a=
∫
10
1-
x
2
dx
,对任意x∈R,不等式a(cos
2
x-m)+πcosx≥0恒成立,则实数m的取值范围为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
函数f(x)满足f(-1)=
1
4
.对于x,y∈R,有
4f(
x+y
2
)f(
x-y
2
)=f(x)+f(y)
,则f(-2012)等于( )
A.
-
1
4
B.
1
4
C.
-
1
2
D.
1
2
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
设函数x,y满足x
2
-2xy-1=0,则x-y的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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