函数f(x)满足f(-1)=14.对于x,y∈R,有4f(x+y2)f(x-y2)=f(x)+f(y),则f(-2012)等于( )A.-14B.14C.-1
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函数f(x)满足f(-1)=14.对于x,y∈R,有4f(x+y2)f(x-y2)=f(x)+f(y),则f(-2012)等于( )A.-14B.14C.-1
题型:单选题
难度:一般
来源:不详
函数f(x)满足f(-1)=
1
4
.对于x,y∈R,有
4f(
x+y
2
)f(
x-y
2
)=f(x)+f(y)
,则f(-2012)等于( )
A.
-
1
4
B.
1
4
C.
-
1
2
D.
1
2
答案
令y=x,则4f(x)f(0)=2f(x),∴f(0)=
1
2
令y=-x,则4f(0)f(x)=f(x)+f(-x),∴f(-x)=f(x),∴f(1)=
1
4
.
令
x+y
2
=m
,
x-y
2
=n
,则4f(m)f(n)=f(m+n)+f(m-n)
令n=-1,则4f(m)f(-1)=f(m-1)+f(m+1),∴f(m+1)=f(m)-f(m-1)
∴f(2)=f(1)-f(0)=
1
4
-
1
2
=-
1
4
,f(3)=f(2)-f(1)=-
1
4
-
1
4
=-
1
2
,f(4)=f(3)-f(2)=-
1
4
f(5)=f(4)-f(3)=
1
4
,…
即函数是以4为周期的周期函数
∴f(-2012)=f(2012)=f(4×503)=-
1
4
故选A.
举一反三
设函数x,y满足x
2
-2xy-1=0,则x-y的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,3)内是增函数的是( )
A.y=2
x
+2
-x
B.y=cosx
C.y=log
0.5
|x|
D.y=x+x
-1
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数f(x)=x
3
-sinx+1,若f(a)=3,则f(-a)=( )
A.3
B.-3
C.-1
D.-2
题型:单选题
难度:简单
|
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函数f(x)=-x
2
+2x在(-∞,0)上是单调 ______函数.
题型:填空题
难度:一般
|
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若实数x满足log
2
x=2+sinθ,则|x+1|+|x-10|=( )
A.2x-9
B.9-2x
C.11
D.9
题型:单选题
难度:简单
|
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