设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,对定义域内的任意x,y都满足f(xy)=f(x)+f(y),且x>1时,f(x)>0.(1)写出一个符合要求的函数,并猜
题型:解答题难度:一般来源:不详
设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,对定义域内的任意x,y都满足f(xy)=f(x)+f(y),且x>1时,f(x)>0. (1)写出一个符合要求的函数,并猜想f(x)在(0,+∞)上的单调性; (2)若f(2)=1,解不等式f(x)+f(x-3)≤2. |
答案
(1)y=logax(a>1,x>0),…(2分)f(x)在(0,+∞)上单调递增.…(3分) (2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x2<x1 由f(xy)=f(x)+f(y),得f(xy)-f(x)=f(y),令xy=x1,x=x2,则,∵x1>x2>0,∴>1,∴f(x1)-f(x2)=f()>0,∴f(x1)>f(x2),故f(x)在(0,+∞)上单调递增.…(6分) 由f(xy)=f(x)+f(y),令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)=2f(2)=2…(7分)∴f(x)+f(x-3)≤f(4),即f[x(x-3)]≤f(4),…(8分) 由f(x)在(0,+∞)上单调递增,得,…(10分) 解得,…(11分) 所以不等式的解集为{x|3<x≤4}.…(12分) |
举一反三
定义在[-2,2]上的偶函数g(x),当x≥0时,g(x)单调递减,若g(1-m)-g(m)<0,则实数m的取值范围是______. |
设函数f(x)=log. (1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明; (2)证明函数f(x)在(1,+∞)上是增函数; (3)若x∈[3,+∞)时,不等式f(x)>()x+m恒成立,求实数m的取值范围. |
设函数y=f(x)的定义域为R,f(1)=2,且对任意x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),当x>0时,f(x)是增函数,则函数y=-f2(x)在区间[-3,-2]上的最大值是______. |
若f(a+b)=f(a)•f(b)且f(1)=2.则++…+=______. |
设a=dx,对任意x∈R,不等式a(cos2x-m)+πcosx≥0恒成立,则实数m的取值范围为______. |
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