某造船公司年造船量最多20艘,已知造船x艘的产值函数为R(x)=3700x+45x2-10x3(单位:万元),成本函数为C(x)=460x+500(单位:万元)
题型:解答题难度:一般来源:蓝山县模拟
某造船公司年造船量最多20艘,已知造船x艘的产值函数为R(x)=3700x+45x2-10x3(单位:万元),成本函数为C(x)=460x+500(单位:万元). (1)求利润函数p(x);(提示:利润=产值-成本) (2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大? (3)在经济学中,定义函数f(x)的边际函数Mf(x)=f(x+1)-f(x).求边际利润函数Mp(x),并求Mp(x)单调递减时x的取值范围;试说明Mp(x)单调递减在本题中的实际意义是什么?(参考公式:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3) |
答案
(1)根据利润=产值-成本,可得p(x)=R(x)-C(x)=3700x+45x2-10x3-460x-500 =-10x3+45x2+3240x-500,(x∈N*,1≤x≤20)(3分) (2)求导函数,可得p′(x)=-30x2+90x+3240=-30(x-12)(x+9),(6分) ∴当0<x<12时,p′(x)>0,当x<12时,p′(x)<0. ∴x=12时,p(x)有最大值. 即年造船量安排12 艘时,可使公司造船的年利润最大.(8分) (3)∵Mp(x)=p(x+1)-p(x) =-10(x+1)3+45(x+1)2+3240(x+1)-500-(-10x3+45x2+3240x-500) =-30x2+60x+3275=-30(x-1)2+3305,(x∈N*,1≤x≤19) 所以,当x≥1时,Mp(x)单调递减,x的取值范围为[1,19],且x∈N*.(11分) Mp(x)是减函数的实际意义:随着产量的增加,每艘船的利润在减少.(13分) |
举一反三
设函数f(x)=2x+p,(p为常数且p∈R). (1)若f(3)=5,求f(x)的解析式; (2)在(1)的条件下,解方程:f-1(x)=2+log2x2. |
函数f(x)=+2x+1og2x中,若f(a)=-1,则a=( ) |
若函数f(x)=x2+px+q满足f(3)=f(2)=0,则f(0)=66. |
下列函数中,既为偶函数又在(0,π)上单调递增的是( )A.y=tan|x| | B.y=cos(-x) | C.y=sin(x-) | D.y=|cot| |
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