已知函数f(x)=x2t-2t(x2+x)+x2+2t2+1,g(x)=12f(x).(I)证明:当t<22时,g(x)在R上是增函数;(Ⅱ)对于给定的闭区间[

已知函数f(x)=x2t-2t(x2+x)+x2+2t2+1,g(x)=12f(x).(I)证明:当t<22时,g(x)在R上是增函数;(Ⅱ)对于给定的闭区间[

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x2t-2t(x2+x)+x2+2t2+1,g(x)=
1
2
f(x).
(I)证明:当t<2


2
时,g(x)在R上是增函数;
(Ⅱ)对于给定的闭区间[a,b],试说明存在实数k,当t>k时,g(x)在闭区间[a,b]上是减函数;
(Ⅲ)证明:f(x)≥
3
2
答案

(I)证明:由题设易得g(x)=e2x-t(ex-1)+x,g"(x)=2e2x-tex+1.又2ex+e-x≥2


2
,且t<2


2

得t<2ex+e-x
tex<2e2x+1,即g"(x)=2e2x-tex+1>0.由此可知,g(x)在R上是增函数.
(II)因为g"(x)<0是g(x)为减函数的充分条件,所以只要找到实数k,使得t>k时g"(x)=2e2x-tex+1<0,即t>2ex+e-x在闭区间[a,b]上成立即可.因为y=2ex+e-x在闭区间[a,b]上连续,故在闭区间[a,b]上有最大值,设其为k,于是在t>k时,g"(x)<0在闭区间[a,b]上恒成立,即g(x)在闭区间[a,b]上为减函数.
(III)设F(t)=2t2-2(ex+x)t+e2x+x2+1,即F(t)=2(t-
ex+x
2
)2+
1
2
(ex-x)2+1

F(t)≥
1
2
(ex-x)2+1
,令H(x)=ex-x,则H"(x)=ex-1,易知H"(0)=0.当x>0时,H"(0)>0;当x<0时,H"(0)<0.故当x=0时,H(x)取最小值,H(0)=1.所以
1
2
(ex-x)2+1≥
3
2

于是对任意的x,t,都有F(t)≥
3
2
,即f(x)≥
3
2
举一反三
某造船公司年造船量最多20艘,已知造船x艘的产值函数为R(x)=3700x+45x2-10x3(单位:万元),成本函数为C(x)=460x+500(单位:万元).
(1)求利润函数p(x);(提示:利润=产值-成本)
(2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?
(3)在经济学中,定义函数f(x)的边际函数Mf(x)=f(x+1)-f(x).求边际利润函数Mp(x),并求Mp(x)单调递减时x的取值范围;试说明Mp(x)单调递减在本题中的实际意义是什么?(参考公式:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=2x+p,(p为常数且p∈R).
(1)若f(3)=5,求f(x)的解析式;
(2)在(1)的条件下,解方程:f-1(x)=2+log2x2
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=


x
+2x+1og2x中,若f(a)=
3


2
2
-1,则a=(  )
A.
1
4
B.
1
2
C.2D.4
题型:单选题难度:简单| 查看答案
若函数f(x)=x2+px+q满足f(3)=f(2)=0,则f(0)=66.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=2x-2-x-


2
,则f(
1
2
)
=(  )
A.-


2
2
B.-


2
C.


2
2
D.


2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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