已知函数y=2x-a2x+1为R上的奇函数(1)求a的值(2)求函数的值域(3)判断函数的单调区间并证明.
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已知函数y=2x-a2x+1为R上的奇函数(1)求a的值(2)求函数的值域(3)判断函数的单调区间并证明.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
y=
2
x
-a
2
x
+1
为R上的奇函数
(1)求a的值
(2)求函数的值域
(3)判断函数的单调区间并证明.
答案
(1)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
即
2
-x
-a
2
-x
+1
=-
2
x
-a
2
x
+1
,
解得:a=1.
∴
y=
2
x
-1
2
x
+1
.
(2)由(1)知
f(x)=1-
2
2
x
+1
(4),
∵2
x
+1>1,
∴
0<
1
2
x
+1
<1
,
∴
-2<-
2
2
x
+1
<0
,∴-1<f(x)<1
所以函数的值域为 (-1,1).
(3)∵f(x)的定义域为R,设x
1
<x
2
,
则
f(
x
1
)-f(
x
2
)=1-
1
2
x
1
+1
-1+
1
2
x
2
+1
=
2
x
1
-
2
x
2
(1+
2
x
1
)(1+
2
x
2
)
,
∵x
1
<x
2
,∴
2
x
1
-
2
x
2
<0,(1+
2
x
1
)(1+
2
x
2
)>0
,∴f(x
1
)-f(x
2
)<0,
即f(x
1
)<f(x
2
),所以不论a为何实数f(x)总为增函数.
举一反三
(Ⅰ)已知函数f(x)=x
3
-x,其图象记为曲线C.
(i)求函数f(x)的单调区间;
(ii)证明:若对于任意非零实数x
1
,曲线C与其在点P
1
(x
1
,f(x
1
))处的切线交于另一点P
2
(x
2
,f(x
2
)),曲线C与其在点P
2
(x
2
,f(x
2
))处的切线交于另一点P
3
(x
3
,f(x
3
)),线段P
1
P
2
,P
2
P
3
与曲线C所围成封闭图形的面积记为S
1
,S
2
.则
S
1
S
2
为定值;
(Ⅱ)对于一般的三次函数g(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d(a≠0),请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题,并予以证明.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=
1
2
4-
x
2
.
(Ⅰ)写出函数f(x)的定义域,并求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设过曲线y=f(x)上的点P的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S,求S的最小值,并求此时点P的坐标.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则( )
A.k>
1
2
B.k<
1
2
C.k>-
1
2
D.k<-
1
2
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
判断f(x)=
1
x
在(0,+∞)的单调性并证明.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知f(x)=
3
x
3
+2x+2
x
3
+
x
-3
x∈(-∞,1)
x∈(1,+∞)
,求f[f(0)]的值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
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