已函数f（x）=x2+1ax+b是奇函数，且f（1）=2．（1）求f（x）的表达式；（2）设F（x）=xf(x)（x＞0）．求F（a）+F（1a）的值，并计算F

题型：解答题难度：一般来源：不详

已函数f（x）=

x2+1

ax+b

是奇函数，且f（1）=2．
（1）求f（x）的表达式；
（2）设F（x）=

x

f(x)

（x＞0）．求F（a）+F（

1

a

）的值，并计算F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（

1

2

）+F（

1

3

）+F（

1

4

）的值．

答案

（1）∵函数f（x）=

x2+1

ax+b

是奇函数，且f（1）=2
∴

b=0 2 a =2

解得：a=1，b=0．
∴f（x）的表达式：f（x）=

x2+1

x

．
（2）F（x）=

x

f(x)

=

x2

x2+1

∴F（a）=

a2

a2+1

，F（

1

a

）=

( 1 a )2

( 1 a )2+1

=

1

a2+1

∴F（a）+F（

1

a

）=1；
∴F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（

1

2

）+F（

1

3

）+F（

1

4

）
=

1

2

+3×1=

7

2

．