解:(1)由题意, 设M(x,y),在△MAB中,|AB|=2,∠AMB=2θ ∴|AM|2+|BM|2﹣2|AM||BM|cos2θ=4 ∴(|AM|+|BM|)2﹣2|AM||BM|(1+2cos2θ)=4 ∴(|AM|+|BM|)2﹣4|AM||BM|cos2θ=4 ∵||||cos2θ=3 ∴|AM|+|BM|=4 ∴||+||=4 因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,a=2,c=1 ∴曲线C的方程为 (2)设直线PQ方程为x=my+1(m∈R) 由 x=my+1与, 消元可得:(3m2+4)y2+6my﹣9=0 显然,方程①的△>0, 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则有 S=×2×|y1﹣y2|=|y1﹣y2|y1+y2=,y1y2= ∴(y1﹣y2)2=(y1+y2)2﹣4y1y2= 令t=3m2+3,则t≥3,(y1﹣y2)2= 由于函数y=t+在[3,+∞)上是增函数,∴t+≤ 故(y1﹣y2)2≤9,即S≤3 ∴△APQ的最大值为3,此时直线PQ的方程为x=1 |