设a>0，是R上的偶函数。（1）求a的值；（2）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数。

题型：解答题难度：一般来源：0123 期末题

设a>0，

是R上的偶函数。
（1）求a的值；
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数。

答案

解：（1）∵

是R上的偶函数，
∴f（x）-f（-x）=0，
∴

，
∵

不可能恒为“0”，
∴当

时，等式恒成立，
∴a=1。
（2）在（0，+∞）上任取

∵e>1，
∴

∴

，

，
∴

，
∴f（x）是在[0，+∞）上的增函数。

举一反三

已知函数

，函数

，
（1）若g（mx²+2x+m）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[-1，1]时，求函数y=[f（x）]²-2a f（x）+3的最小值h（a）；
（3）是否存在非负实数m、n，使得函数

的定义域为[n，m]，值域为[2n，2m]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由。

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奇函数y=f（x）在区间［3，7］上是增函数，且最小值为-5，那么f（x）在区间［-7，-3］上

[ ]

A、是增函数且最小值为5
B、是增函数且最大值为5
C、是减函数且最小值为5
D、是减函数且最大值为5

题型：单选题难度：简单| 查看答案

已知函数f（x）是定义在R上的增函数，且f（m+1）＞f（2m-1），则m的取值范围是（）。

题型：填空题难度：简单| 查看答案

设f（x）是定义在R上的增函数，令g（x）=f（x）-f（2010-x），
（1）求证g（x）+g（2010-x）时定值；
（2）判断g（x）在R上的单调性，并证明；
（3）若g（x₁）+g（x₂）＞0，求证x₁+x₂＞2010。

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知函数

，
（1）求函数f（x）在定义域上的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）-a=0恰有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；
（3）已知实数x₁、x₂∈(0，1]，且x₁+x₂=1，求f（x₁）·f（x₂）的最大值。

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