设y=f(x)是定义在区间(a,b)(b>a)上的函数,若对x1、x2∈(a,b),都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,则称y=f(x)是区间(a,

设y=f(x)是定义在区间(a,b)(b>a)上的函数,若对x1、x2∈(a,b),都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,则称y=f(x)是区间(a,

题型:解答题难度:困难来源:广东省模拟题
设y=f(x)是定义在区间(a,b)(b>a)上的函数,若对x1、x2∈(a,b),都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,则称y=f(x)是区间(a,b)上的平缓函数.
(1)试证明对k∈R,f(x)=x2+kx+1都不是区间(-1,1)上的平缓函数;
(2)若f(x)是定义在实数集R上的、周期为T=2的平缓函数,试证明对x1、x2∈R,|f(x1)-f(x2)|≤1.
答案
解:(1)
若k≥0,则当时,
从而
若k<0,则当时,
从而
所以对任意常数k,都不是区间(-1,1)上的平缓函数。
(2)若
①当时,
②当时,不妨设,根据f(x)的周期性,f(0)=f(2),


所以对,都有
,根据f(x)的周期性(且T=-2),
存在,使
从而,
举一反三
对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足下列条件:①f(x)在D内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b]D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b];那么把y=f(x)(x∈D)叫闭函数。
(1)判断函数,x∈[-2,2]是否为闭函数?并说明理由;
(2)判断函数y=x2-2kx+k+1,x∈[k,+∞)是否为闭函数?若是闭函数,求实数k的取值范围。
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已知f(x)为R上的减函数,则满足f(2x-1)>f(1)的实数x的取值范围是[     ]
A、(-∞,1)
B、(1,+∞)
C、(-∞,0)∪(0,1)
D、(-∞,0)∪(1,+∞)
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已知f(x)是定义在[0,1]上的增函数,并且α,β是钝角三角形的两个锐角,则下列不等式关系中正确的是[     ]
A.f(sinα)>f(cosβ)   
B.f(cosα)+f(cosβ)>0
C.f(cosα)·f(cosβ)<0  
D.f(sinα)<f(cosβ)
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函数的单调递增区间是(    )。
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已知偶函数f(x)在[0,π]上单调递增,那么下列关系式成立的是[     ]
A、f(-π)>f()>f(2)
B、f(-π)>f(2)>f()
C、f(2)>f()>f(-π)
D、f()>f(2)>f(-π)
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