试题分析:(1) 由奇函数的性质求 ,可用特殊值或用恒等式对应项系数相等,如果0在奇函数的定义域内,则一定有 ,如果不在可任取定义域内两个相反数代入求 . (2)由 求出 ,代入得 ,换元 ,注意自变量的取值范围,每设出一个子母都要把它取的范围缩到最小以有利于解题, 所以得到 得到一个新的函数 , 利用二次函数函数单调性求最值方法得到 ,二次函数在区间上的最值在端点处或顶点处,遇到对称轴或区间含有待定的字母,则要按对称轴在不在区间内以及区间中点进行讨论. (3)由函数零点判定转化为二次方程根的判定,即 在 解个数情况,这个解起来比较麻烦,所以可以用函数单调性先来判定零点的个数,即 在 上为增函数,也就是在 这个区间上是一一映射, 时的每个值方程 只有一个解. 试题解析: (1) 为 上的奇函数
即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818222808-40284.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818222808-25027.png) (2)由(1)知![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818222808-40853.png)
解得 或 (舍)
且 在 上递增
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818222810-27056.png) 令 则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818222806-92118.png) 所以令 , 且![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818222810-30635.png) 因为 的对称轴为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818222810-34839.png) Ⅰ当 时![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818222811-38106.png) 解得 (舍) Ⅱ当 时![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818222811-14648.png) 解得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818222804-88755.png) 综上:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818222804-88755.png) (3)由(2)可得: 令 则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818222806-92118.png) 即求 , 零点个数情况 即求 在 解个数情况 由 得 ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818222806-92118.png) 所以 在 上为增函数 当 时 有最小值为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818222812-51708.png) 所以当 时 方程在 上有一根,即函数有一个零点 当 时 方程在 上无根,即函数无零点 综上所述:当 时 在 上有一个零点 当 时 在 上无零点. |