已知是定义在[-1，1]上的奇函数，当，且时有.（1）判断函数的单调性，并给予证明；（2）若对所有恒成立，求实数m的取值范围.

题型：解答题难度：简单来源：不详

已知是定义在[-1，1]上的奇函数，当，且时有.
（1）判断函数的单调性，并给予证明；
（2）若对所有恒成立，求实数m的取值范围.

答案

(1)证明：令－1≤x₁<x₂≤1，且a= x₁，b=－x₂
则 ∵x₁－ x₂<0，f(x)是奇函数  ∴f(x₁)－f(x₂)<0即f(x₁)<f(x₂)
∵x₁<x₂  ∴f(x)是增函数
(2)解：∵f(x)是增函数，且f(x)≤m²－2bm+1对所有x∈[－1,2]恒成立
∴[f(x)]_max≤m²－2bm+1   [f(x)]_max=f(1)=1
∴m²－2bm+1≥1即m²－2bm≥0在b∈[－1,1]恒成立
∴y= －2mb+m²在b∈[－1,1]恒大于等于0
∴，∴
∴m的取值范围是

解析

略