函数y=f(x)在区间(0,+∞)内可导.导函数f′(x)是减函数,且f′(x)>0,x0∈(0,+∞).g(x)=kx+m是y=f(x)在点(x0,f(x0)
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函数y=f(x)在区间(0,+∞)内可导.导函数f′(x)是减函数,且f′(x)>0,x0∈(0,+∞).g(x)=kx+m是y=f(x)在点(x0,f(x0)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
函数y=f(x)在区间(0,+∞)内可导.导函数f
′
(x)是减函数,且f
′
(x)>0,x
0
∈(0,+∞).g(x)=kx+m是y=f(x)在点(x
0
,f(x
0
))处的切线方程.
(1)用x
0
,f(x
0
),f
′
(x
0
)表示m;
(2)证明:当x∈(0,+∞)时,g(x)≥f(x);
(3)若关于x的不等式
x
2
+1≥ax+b≥
3
2
x
2
3
在(0,+∞)上恒成立,其中a,b为实数,求b的取值范围及a,b所满足的关系.
答案
(1)y-f(x
0
)=f"(x
0
)(x-x
0
)
∴m=f(x
0
)-x
0
f"(x
0
).
(2)证明:令h(x)=g(x)-f(x),则h"(x)=f"(x
0
)-f"(x),h"(x
0
)=0.
因为f"(x)递减,所以h"(x)递增,因此,当x>x
0
时,h"(x)>0;
当x<x
0
时,h"(x)<0.所以x
0
是h(x)唯一的极值点,且是极小值点,
可知h(x)的最小值为0,因此h(x)≥0,即g(x)≥f(x).
(3)把ax移到两边得
x
2
+1-ax≥b≥
3
2
x
2
3
-ax
令y
1
=x
2
+1-ax,
y
2
=
3
2
x
2
3
-ax
则
y
/2
=
x
-
1
3
-a
①
a
2
<0
时,(y
1
)
min
=1,(y
2
)
max
=0,∴1≥b≥0
②
a
2
≥0
时,
(
y
1
)
min
=1-
a
2
4
,(
y
2
)
max
=
1
2
a
2
,
∴
1-
a
2
4
≥b≥
1
2
a
2
举一反三
对于任意的x∈R,不等式
2
x
2
-a
x
2
+1
+3>0
恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.
a<2
2
B.
a≤2
2
C.a<3
D.a≤3
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x
2
+ax-3,其中a为实数.
(1)设t>0为常数,求函数f(x)在区间[t,t+2]上的最小值;
(2)若对一切x∈(0,+∞),不等式2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=
2
x
-
1
2
|x|
.
(1)设集合
A={x|f(x)≤
15
4
}
,B={x|x
2
-6x+p<0},若A∩B≠∅,求实数p的取值范围;
(2)若2
t
f(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
若函数f(x)=(m-1)x
2
+2mx+3为偶函数,则f(0),f(1),f(-
2
)的大小关系为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知
f(x)=(
x-1
x+1
)
2
(x>1),
(1)若
g(x)=
1
f
-1
(x)
+
x
+2
,求g(x)的最小值;
(2)若不等式
(1-
x
)•
f
-1
(x)>m•(m-
x
)
对于一切
x∈[
1
4
,
1
2
]
恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
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