已知集合A是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数k,对任意x∈D(D为函数的定义域)等式f(kx)=k2+f(x)恒成立.(1)一次函数f(x)=ax

已知集合A是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数k,对任意x∈D(D为函数的定义域)等式f(kx)=k2+f(x)恒成立.(1)一次函数f(x)=ax

题型:解答题难度:一般来源:闸北区一模
已知集合A是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数k,对任意x∈D(D为函数的定义域)等式f(kx)=
k
2
+f(x)
恒成立.
(1)一次函数f(x)=ax+b(a≠0)是否属于集合A?请说明理由.
(2)设函数f(x)=logax(a>1)的图象与直线y=
1
2
x
有公共点,试证明f(x)=logax∈A.
答案
(1)∵一次函数f(x)=ax+b(a≠0),∴f(kx)=akx+b,而
k
2
+f(x)=ax+b+
k
2

显然,akx+b和 ax+b+
k
2
不可能恒成立,故一次函数f(x)=ax+b(a≠0)不属于集合A.
(2)设函数f(x)=logax(a>1)的图象与直线y=
1
2
x
有公共点,∴方程 logax=
1
2
x 有解 ①.
要使f(x)∈A,则存在常数k,使loga(kx)=
k
2
+logax 成立,即方程 logak=
1
2
k 有解.
而由①可得方程 logak=
1
2
k 有解,可得f(x)=logax∈A.
举一反三
函数y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域,且对定义域中的任意x,有f(-x)+f(x)=0,g(x)•g(-x)=1,且g(0)=1,则函数F(x)=
2f(x)
g(x)-1
+f(x)
是(  )
A.奇函数B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=





x3-1
x-1
,x≠1
a,x=1
,若f(x)
在R上连续,则 
lim
n→∞
(
an-1
n
+
2a
3n
)
=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
F(x)=f(x)+f(-x),x∈R,[-π,-
π
2
]为函数F(x)
的单调递增区间,将F(x)的图象向右平移π个单位得到一个新的G(x)的图象,则下列区间必定是G(x)的单调减区间的是(  )
A.[-
π
2
,0]
B.[
π
2
,π]
C.[π,
2
]
D.[
2
,2π]
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)的图象与函数y=ax-1,(a>1)的图象关于直线y=x对称,g(x)=loga(x2-3x+3)(a>1).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)在区间[m,n](m>-1)上的值域为[loga
p
m
loga
p
n
]
,求实数p的取值范围;
(3)设函数F(x)=af(x)-g(x)(a>1),若w≥F(x)对一切x∈(-1,+∞)恒成立,求实数w的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
(文)对于任意x∈(0,
π
2
]
,不等式psin2x+cos4x≥0恒成立,则实数p的最小值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.