设f(x)是定义在R上的奇函数,在(-∞,0)上有xf′(x)+f(x)<0且f(-2)=0,则不等式xf(x)<0的解集为( )A.{x|-2<x<0或x>
题型:单选题难度:简单来源:不详
设f(x)是定义在R上的奇函数,在(-∞,0)上有xf′(x)+f(x)<0且f(-2)=0,则不等式xf(x)<0的解集为( )A.{x|-2<x<0或x>2} | B.{x|x<-2或0<x<2} | C.{x|x<-2或x>2} | D.{x|-2<x<0或0<x<2} |
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答案
设g(x)=xf(x),则g"(x)=[xf(x)]"=x"f(x)+xf"(x)=xf′(x)+f(x)<0, ∴函数g(x)在区间(-∞,0)上是减函数, ∵f(x)是定义在R上的奇函数, ∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数, ∴函数g(x)在区间(0,+∞)上是增函数, ∵f(-2)=0, ∴f(2)=0; 即g(2)=0且g(0)=0f(0)=0, ∴xf(x)<0化为g(x)<0, ∵对于偶函数g(x),有g(-x)=g(x)=g(|x|), 故不等式为g(|x|)<g(2), ∵函数g(x)在区间(0,+∞)上是增函数, ∴|x|<2且x≠0,解得-2<x<2且x≠0, 故所求的解集为{x|-2<x<2且x≠0}. 故选D. |
举一反三
已知不等式+ ≥8-a对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( ) |
幂函数f(x)=xn(n=1,2,3,,-1)具有如下性质:f2(1)+f2(-1)=2[f(1)+f(-1)-1],则函数f(x)( )A.是奇函数 | B.是偶函数 | C.既是奇函数,又是偶函数 | D.既不是奇函数,又不是偶函数 |
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当x∈(3,4)时,不等式loga(x-2)+(x-3)2<0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(0,] | B.[,1) | C.(1,2] | D.[2,+∞) |
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设a为常数,a∈R,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R. (1)若函数f(x)是偶函数,求实数a的值; (2)求函数f(x)的最小值. |
f(x)=ax3+bx2+cx+d,定义y=f″(x)是函数y=f′(x)的导函数.若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.有同学发现:任何一个三次函数既有拐点,又有对称中心,且拐点就是对称中心.根据这一发现,对于函数g(x)=x3-x2+3x+,则g()+g()+g()+…+g()的值为______. |
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