(Ⅰ)要使函数f(x)=x4+ax3+2x2+b(x∈R)为偶函数,则f(-x)=f(x), 即x4-ax3+2x2+b=x4+ax3+2x2+b,解得a=0,b∈R时,函数为偶函数. …(5分) (Ⅱ)f"(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4). …(6分) 当a=-时,f"(x)=x(4x2-10x+4)=2x(2x-1)(x-2). …(7分) 令f"(x)=0,解得x1=0,x2=,x3=2. …(8分) 当x变化时,f"(x),f(x)的变化情况如下表:
x | (-∞,0) | 0 | (0,) | | (,2) | 2 | (2,+∞) | f"(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + | f(x) | ↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
举一反三
已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在(-5,-2)上是( )A.增函数 | B.减函数 | C.非单调函数 | D.可能是增函数,也可能是减函数 |
| 已知定义在R上的函数f(x)满足以下条件:①f(1)=2;②当x>0时,f(x)>1;③对任何x,y∈R都有f(x+y)=f(x)f(y)求证: (1)f(0)=1; (2)当x<0时,0<f(x)<1; (3)函数f(x)在R上是单调增函数. | 已知函数f(x)=ax2+bx+1,a,b为实数,a≠0,x∈R,F(x)=, (1)若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当x∈[-1,1]时,g(x)=f(x)+kx是单调函数,求实数k的取值范围; (3)设mn<0,m+n>0,a>0,且函数f(x)为偶函数,判断F(m)+F(n)是否大于0. | 已知奇函数f(x)满足f(x+3)=f(x),当x∈[1,2]时,f(x)=3x-1则f[log(33•4)]的值为( ) | 设偶函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式<0的解集为( )A.(-∞,-1)∪(0,1) | B.(-1,0)∪(1,+∞) | C.(-∞,-1)∪(1,+∞) | D.(-1,0)∪(0,1) |
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