已知定义在R上的函数f（x）满足以下条件：①f（1）=2；②当x＞0时，f（x）＞1；③对任何x，y∈R都有f（x+y）=f（x）f（y）求证：（1）f（0）=
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知定义在R上的函数f（x）满足以下条件：①f（1）=2；②当x＞0时，f（x）＞1；③对任何x，y∈R都有f（x+y）=f（x）f（y）求证：
（1）f（0）=1；
（2）当x＜0时，0＜f（x）＜1；
（3）函数f（x）在R上是单调增函数． |
答案
证明：（1）令x=0，y=1，则f（1）=f（1+0）=f（1）f（0）=2f（0）=2
∴f（0）=1；
（2）当x＜0时，-x＞0，则f（-x）＞1
∴f（0）=f[x+（-x）]=f（x）f（-x）=1
∴f(x)=
∴当x＜0时，0＜f（x）＜1；
（3）设x1＜x2，则x1-x2＜0，
∴===f（x1-x2）＜1
由（1）知，f（x）＞0，∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在R上是单调增函数． |
举一反三
已知函数f（x）=ax2+bx+1，a，b为实数，a≠0，x∈R，F（x）=，
（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-1，1]时，g（x）=f（x）+kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于0． |
| 已知奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），当x∈[1，2]时，f（x）=3x-1则f[log(33•4)]的值为（ ） |
设偶函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式＜0的解集为（ ）| A．（-∞，-1）∪（0，1） | B．（-1，0）∪（1，+∞） | C．（-∞，-1）∪（1，+∞） | D．（-1，0）∪（0，1） |
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设函数f（x）=ax3+bx2+cx+2的导函数为f′（x），如果f′（x）为偶函数，则一定有（ ）| A．a≠0，c=0 | B．a=0，c≠0 | C．b=0 | D．b=0，c=0 |
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| 已知函数f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=-lg（-x）+x+3，已知f（x）=0有一根为x0且x0∈(n，n+1)n∈N*，则n=______． |
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